Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 4 - Chương 4 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1: Giải phương trình :

a) \({x^2} - 2 = 5\sqrt {{x^2} - 2}  - 6\)                   

b) \(\sqrt {1 + 4x - {x^2}}  = x - 1.\)

Bài 2: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2x + m - 8 = 0\) có hai nghiệm x₁, x₂ và thỏa mãn \(3{x_1} - {x_2} = 0.\)

Bài 3: Tìm m để phương trình \({x^2} - 2mx + m - 1 = 0\) có hai nghiệm x₁, x₂ và \(x_1^2 + x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: Cho parabol (P) : \(y =  - {1 \over 2}{x^2}.\)  Viết Phương trình đường thẳng (d) qua điểm \(M(− 1; 1)\) và (d) tiếp xúc với (P).

Bài 5: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng \({1 \over 3}\) chiều dài và có diện tích bằng 507m². Tính chu vi của khu vườn.

LG bài 1

Phương pháp giải:

a.Đặt ẩn phụ: \(u = \sqrt {{x^2} - 2} \) 

b.Sử dụng: \(\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B \ge 0}\\{A = {B^2}}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết:

: a) Đặt \(u = \sqrt {{x^2} - 2} ,\) điều kiện \(\left[ \matrix{  x \ge \sqrt 2  \hfill \cr  x \le  - \sqrt 2  \hfill \cr}  \right.;u \ge 0 \Rightarrow {u^2} = {x^2} - 2\)

Ta có phương trình : \({u^2} = 5u - 6 \Leftrightarrow {u^2} - 5u + 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {{\rm{u}} = 2\left( {{\text{nhận}}} \right)}  \cr   {{\rm{u}} = 3\left( {{\text{nhận}}} \right)}  \cr  } } \right.\)

+) \({x^2} - 2 = 4 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 6 \)

+) \({x^2} - 2 = 9 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {11} .\)

b) \(\sqrt {1 + 4x - {x^2}}  = x - 1 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x - 1 \ge 0 \hfill \cr  1 + 4x - {x^2} = {x^2} - 2x + 1 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x \ge 1 \hfill \cr  2{x^2} - 6x = 0 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x \ge 1 \hfill \cr  \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  x = 3 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow x = 3.\)

LG bài 2

Phương pháp giải:

+Phương trình có nghiệm x₁,x­₂  \(\Leftrightarrow  ∆’ ≥ 0  \)

+Sử dụng hệ thức vi-ét để tìm tổng và tích hai nghiệm  

\({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)

+Giải hệ gồm biểu thức ban đầu và tổng 2 nghiệm ta tìm được 2 nghiệm, thế vào tích hai nghiệm ta tìm được m

Lời giải chi tiết:

Phương trình có nghiệm x₁,x­₂  \(\Leftrightarrow  ∆’ ≥ 0  \Leftrightarrow 9 – m ≥ 0  \Leftrightarrow  m ≤ 9.\)

Theo định lí Vi-ét, ta có : \({x_1} + {x_2} = 2;\,\,\,\,{x_1}{x_2} = m - 8\)

Xét hệ : \(\left\{ \matrix{  3{x_1} - {x_2} = 0 \hfill \cr  {x_1} + {x_2} = 2 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_1} = {1 \over 2} \hfill \cr  {x_2} = {3 \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó : \({x_1}{x_2} = {1 \over 2}.{3 \over 2} = {3 \over 4} \)\(\;\Leftrightarrow m - 8 = {3 \over 4} \Leftrightarrow m = 8{3 \over 4}\)( nhận).

LG bài 3

Phương pháp giải:

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow  ∆’ ≥ 0 \)

Sử dụng hệ thức vi-ét để tìm tổng và tích hai nghiệm  

\({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)

Biến đổi biểu thức đã cho về tổng và tích hai nghiệm rồi thế hệ thức Vi-ét vào biểu thức trên

Đánh giá ta tìm được GTNN

Lời giải chi tiết:

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow  ∆’ ≥ 0 \Leftrightarrow m^2– m + 1 ≥ 0\) ( luôn đúng với mọi m vì \({m^2}-{\rm{ }}m{\rm{ }} + 1{\rm{ }} = {\left( {m - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\)

Ta có :

\(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \)\(\;= 4{m^2} - 2m + 2 \)\(\;= {\left( {2m - {1 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} \ge {7 \over 4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của\(x_1^2 + x_2^2\) bằng \({7 \over 4}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2m - {1 \over 2} = 0 \Leftrightarrow m = {1 \over 4}.\)

LG bài 4

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng (d) có dạng : \(y = ax + b \;( a\ne 0)\)

Cho (d) đi qua M

Phương trình hoành độ giao điểm ( nếu có) của (P  ) và (d) 

(P  ) và (d) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \)

Giải ra ta tìm được a, từ đó tìm b

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng (d) có dạng : \(y = ax + b \;( a\ne 0)\)

\(M \in (d)  \Leftrightarrow  1 = − a + b \Leftrightarrow  b = 1 + a.\) Vậy \(y = ax + a +1.\)

Phương trình hoành độ giao điểm ( nếu có) của (P  ) và (d) :

\( - {1 \over 2}{x^2} = ax + a + 1\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 2ax + 2a + 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

(P  ) và (d) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2a - 2 = 0 \)

Ta có: \(\Delta _a^{'} = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( { - 2} \right) = 3\)

\(\;\Leftrightarrow a = 1 \pm \sqrt 3 \)

Phương trình đường thẳng (d) : \(y = \left( {1 \pm \sqrt 3 } \right)x + 2 \pm \sqrt 3 .\)

LG bài 5

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình

   + Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

   + Biểu diễn tất cả các đại lượng khác qua ẩn vừa chọn.

   + Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình              

Bước 3: Đối chiếu điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

Bài 5: Gọi \(x\) là chiều dài của khu vườn ( \(x > 0;\; x \) tính bằng m), thì chiều rộng là \({1 \over 3}x\) . Ta có phương trình :

\({1 \over 3}x.x = 507 \Leftrightarrow {x^2} = 1521\)\(\; \Leftrightarrow x =  \pm 39\)

Vì \(x > 0\), nên ta lấy \(x = 39\).

Khi đó chu vi là : \(2\left( {39 + {1 \over 3}.39} \right) = 104\left( m \right)\)

Vậy chu vi là \(104\) ( m).