Cho đường tròn (O) đường kính BC. Dây \(AD ⊥ BC\) tại H. Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC. Gọi (I), (K) là các đường tròn ngoài tiếp các tam giác HBE và HCF.

a. Xác định vị trí tương đối của các đường tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).

b. Chứng minh: \(AE.AB = AF.AC.\)

c. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và (K).

d. Xác định vị trí điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a.Xét hiệu các bán kính và so sánh với độ dài đường nối hai tâm để suy ra vị trí tương đối của 2 đường tròn

b.Sử dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

c. Chứng minh 1 tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật, suy ra EF vuông góc với IE và KF từ đó suy ra đpcm

d.Sử dụng tính chất hai đường chéo HCN bằng nhau sau đó ta so sánh được AH với R

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(IO = OB – IB\; (d = R – R_1)\)

\(⇒ (I)\) và \((O)\) tiếp xúc trong tại B.

Chứng minh tương tự ta có: (K) và (O) tiếp xúc trong tại C.

\(IK = IH + HK \;(d = R_1+R_2)\)

\(⇒ (I)\) và \((K)\) tiếp xúc ngoài tại H.

b. ∆AHB vuông tại H có HE là đường cao, ta có: \(A{H^2} = AE.AB\)

Tương tự với tam giác vuông AHC ta có:

\(A{H^2} = AF.AC\)

Do đó: \(AE.AB = AF.AC\)

c. Các tam giác ABC, BEH, CFH vuông vì chắn nửa đường tròn có đường kính lần lượt là BC, BH, CH. Do đó tứ giác AEHF là hình chứ nhật (có 3 góc vuông) \( \Rightarrow {\widehat E_1} = {\widehat H_1}\)

Mặt khác ∆EIH cân nên \({\widehat E_2} = {\widehat H_2},\) mà \(\,{\widehat H_1} + {\widehat H_2} = 90^\circ \) (gt)

\( \Rightarrow {\widehat E_1} + {\widehat E_2} = 90^\circ \,hay\,EF \bot IE\)

Tương tự ta chứng minh được \(EF ⊥ KF\). Vậy EF là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và (K).

d. Do AEHF là hình chữ nhật (cmt) \(⇒ EF = AH\) nên EF có độ dài lớn nhất khi AH có độ dài lớn nhất. \(AH ≤ OA = R\) (không đổi). Dấu “=” xảy ra khi \(H ≡ O\). Vậy khi H trùng với O thì AH có độ dài lớn nhất là R.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024