2. Đề thi vào 10 môn Toán Bắc Ninh năm 2019

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3 điểm)

Câu 1: Khi $$ biểu thức $$ có giá trị là:

A. $$                                B.  $$                              C.  $$                               D. $$   

Câu 2:   Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $$ ?

A.  $$                        B.   $$                     C.  $$                        D.  $$

Câu 3:  Số nghiệm của phương trình $$ là:

A. $$                                    B.  $$                                    C.  $$                                   D. $$  

Câu 4:  Cho hàm số $$. Điểm $$ thuộc đồ thị hàm số khi

A. $$                              B.  $$                                     C.$$                            D.   $$

Câu 5: Từ điểm $$ nằm bên ngoài đường tròn $$ kẻ hai tiếp tuyến $$ tới đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính $$ Biết $$ , số đo của cung nhỏ $$ là:

A.  $$                          B. $$                           C.  $$                                    D.  $$

Câu 6: Cho tam giác $$ vuông tại $$. Gọi $$ là chân đường cao hạ từ đỉnh $$ xuống cạnh $$ biết $$ . Độ dài đoạn $$ là:

A.  $$                              B.  $$                              C. $$                                    D. $$  

II. TỰ LUẬN (7 điểm)

Câu 7 (2 điểm):

Cho biểu thức: $$ với $$

a) Rút gọn biểu thức $$

b) Tìm $$ là số chính phương để $$ là số nguyên.

Câu 8 (1 điểm)

An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm 9 và điểm 10 của mình thấy nhiều hơn 16 bài. Tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm 9 và điểm 10 đó là 160. Hỏi An được bao nhiêu bài điểm 9 và bao nhiêu bài điểm 10?

Câu 9 (2,5 điểm):

Cho đường tròn $$ , hai điểm $$ nằm trên $$ sao cho $$ . Điểm $$ nằm trên cung lớn $$ sao cho $$ và tam giác $$ có ba góc đều nhọn. Các đường cao $$ của tam giác $$ cắt nhau tại điểm $$ , $$ cắt $$ tại điểm $$ (khác điểm B); AI cắt $$ tại điểm $$(khác điểm A); NA cắt MB tại điểm D. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $$ nội tiếp một đường tròn.

b) $$ là đường kính của đường tròn $$

c) $$ song song với $$.

Câu 10 (1,5 điểm)

a) Cho phương trình $$ với $$ là tham số. Tìm $$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $$ sao cho $$

b) Cho hai số thực không âm $$ thỏa mãn $$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Câu 1

Phương pháp:

Thay $$vào biểu thức $$ ta tính được giá trị của biểu thức tại $$.

Cách giải:

Điều kiện: $$

Thay $$ vào biểu thức $$ ta được: $$

Chọn D.

Câu 2

Phương pháp:

Hàm số $$ đồng biến trên $$ khi $$ , nghịch biến trên $$ khi $$

Cách giải:

Trong các hàm số đã cho hàm số $$ đồng biến trên  $$

Chọn B.

Câu 3

Phương pháp:

Giải phương trình rồi kết luận số nghiệm của phương trình.

Cách giải:

Đặt $$ Khi đó  (1) $$

Ta thấy $$ .  Nên  phương trình có nghiệm $$ hoặc $$

$$ có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn D.

Câu 4

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm $$ vào hàm số tìm ra $$

Cách giải:

Vì $$ thuộc đồ thị hàm số $$ nên  ta có: $$

Chọn A.

Câu 5

Phương pháp:

+) Tổng 4 góc của tứ giác lồi bằng $$

+) Sử tính chất góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn.

Cách giải:

A.  $$                              B.  $$                              C. $$                                    D. $$  

Câu 6

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: $$  để làm bài toán.

Cách giải:

II. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm)

Câu 7

Phương pháp:

a) Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức.

b) Số $$ là số chính phương.

Cách giải:

Cho biểu thức: $$ với $$

a) Rút gọn biểu thức $$

Điều kiện: $$

b) Tìm $$ là số chính phương để $$ là số nguyên.

Điều kiện: $$

Ta có: $$

Vì $$.

Mà $$.

TH1: $$ (tm).

TH2: $$.

TH3: $$.

TH4: $$.

TH5: $$.

Vậy $$.

Câu 8

Phương pháp:

Gọi số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là $$ (bài) $$ và số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là $$ (bài) $$.

Dựa vào các giả thiết của bài toán, giải bài toán bằng cách lập phương trình và biện luận để giải bài toán.

Cách giải:

Gọi số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là $$ (bài) $$ và số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là $$ (bài) $$.

Do số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 và điểm 10 nhiều hơn 16 bài nên $$  (1).

Tổng số điểm của $$ bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là $$ (điểm).

Tổng số điểm của $$ bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là $$ (điểm).

Do tổng số điểm tất cả các bài kiểm tra đạt 9 điểm và 10 điểm là 160 nên ta có phương trình:

$$.

Thay vào (1) ta có: $$.

Do $$.

Ta có:

$$.

Vậy số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 9 là 10 bài và số bài kiểm tra 1 tiết đạt điểm 10 là 7 bài.

Câu 9

Phương pháp:

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp để chứng minh.

b) c) Sử dụng các tính chất của các góc nội tiếp,  góc ở tâm cùng chắn một cung ; các tính chất của các đường thẳng song song.

Cách giải:

a) Tứ giác $$ nội tiếp một đường tròn.

Ta có: $$.

Xét tứ giác $$ có : $$ Tứ giác $$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) $$ là đường kính của đường tròn $$.

Ta có $$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $$).

Có $$ vuông tại $$, lại có $$ vuông cân tại $$.

$$. Mà hai góc này ở vị trí so le trong $$.

Mà $$ hay $$ (từ vuông góc đến song song).

$$ nội tiếp chắn nửa đường tròn $$ là đường kính của đường tròn$$.

c) $$ song song với $$.

Có $$.

Mà $$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $$).

$$ hay $$ .

Ta có $$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $$).

Tam giác $$ có $$.

$$. Mà 2 góc này ở vị trí so le trong $$.

Theo giả thiết ta có $$ hay $$ (từ vuông góc đến song song)

Mặt khác ta có $$.

Xét tam giác $$ có: hai đường cao $$ cắt nhau tại $$ là trực tâm của tam giác $$.

$$.

Từ (1) và (2) $$ (Từ vuông góc đến song song) (đpcm).

Câu 10

Cách giải:

a) Cho phương trình $$ với $$ là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ sao cho $$.

Ta có: $$.

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì $$.

Khi $$ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: $$.                                                 

Theo bài ra ta có:

Vậy $$ hoặc $$.

b) Cho hai số thực không âm $$ thỏa mãn $$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$.

+) Tìm giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm $$ ta có:

Dấu “=” xảy ra $$.

Vậy $$.

+) Tìm giá trị lớn nhất.

Ta có $$.

Ta có $$.

Do đó $$.

$$.

Dấu "=" xảy ra $$.

Vậy $$ hoặc $$.