2. Đề thi vào 10 môn Toán Nghệ An năm 2020

Câu 1: 

a) Tính $$

b) Rút gọn biểu thức $$ với $$ và $$.

c) Tìm giá trị của tham số $$ để đường thẳng $$ song song với đường thẳng $$.

Câu 2: 

a) Giải phương trình $$

b) Cho phương trình $$ có hai nghiệm phân biệt $$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $$.

Câu 3:  

Hưởng ứng phương trào toàn dân chung tay đẩy lùi đại dịch Covid-19, trong tháng hai năm 2020, hai lớp 9A và 9B của một trường THCS đã nghiên cứu và sản suất được 250 chai nước rửa tay sát khuẩn. Vì muốn tặng quà cho khu cách li tập trung trên địa bàn, trong tháng ba, lớp 9A làm vượt mức 25%, lớp 9B làm vượt mức 20%, do đó tổng sản phẩm của cả hai lớp vượt mức 22% so với tháng hai. Hỏi trong tháng hai, mỗi lớp đã sản xuất được bao nhiêu chai nước rửa tay sát khuẩn?

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD (AD > BC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu của E trên AB.

a) Chứng minh ADEH là tứ giác nội tiếp.

b) Tia CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Gọi I là giao điểm của DK và AB. Chứng minh $$.

c) Khi tam giác DAB không cân, gọi M là trung điểm của EB, tia DC cắt tia HM tại N. Tia NB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HMB tại điểm thứ hai là F. Chứng minh F thuộc đường tròn (O).

Câu 5: 

Giải hệ phương trình: $$

Câu 1 (2,5 điểm)

Cách giải:

a) Tính $$

Ta có:

Vậy $$.

b) Rút gọn biểu thức $$ với $$ và $$.

Ta có:

Vậy $$ với $$ và $$.

c) Tìm giá trị của tham số $$ để đường thẳng $$ song song với đường thẳng $$.

Để đường thẳng $$ song song với đường thẳng $$ thì:

Vậy $$.

Câu 2 (2,0 điểm)

Cách giải:

a) Giải phương trình $$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $$.

b) Cho phương trình $$ có hai nghiệm phân biệt $$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $$.

Ta thấy $$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $$ thỏa mãn $$

Khi đó,

Vậy $$.

Câu 3 (1,5 điểm)

Cách giải:

Hưởng ứng phương trào toàn dân chung tay đẩy lùi đại dịch Covid-19, trong tháng hai năm 2020, hai lớp 9A và 9B của một trường THCS đã nghiên cứu và sản suất được 250 chai nước rửa tay sát khuẩn. Vì muốn tặng quà cho khu cách li tập trung trên địa bàn, trong tháng ba, lớp 9A làm vượt mức 25%, lớp 9B làm vượt mức 20%, do đó tổng sản phẩm của cả hai lớp vượt mức 22% so với tháng hai. Hỏi trong tháng hai, mỗi lớp đã sản xuất được bao nhiêu chai nước rửa tay sát khuẩn?

Gọi số chai nước rửa tay lớp 9A, 9B lần lượt sản xuất được trong tháng hai là $$ (chai, $$)

Trong tháng hai, hai lớp sản suất được 250 chai nước rửa tay nên $$ (1)

Số chai nước rửa tay lớp 9A sản xuất được trong tháng ba là:

$$ chai

Số chai nước rửa tay lớp 9B sản xuất được trong tháng ba là:

$$ chai

Số chai nước rửa tay cả hai lớp sản xuất được trong tháng ba là:

$$ chai

Trong tháng ba, hai lớp sản suất được 305 chai nước rửa tay nên $$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$$$.

Vậy lớp 9A sản suất được $$ chai nước rửa tay.

        lớp 9B sản suất được $$ chai nước rửa tay.

Câu 4 (3,0 điểm)

Cách giải:

Cho tứ giác ABCD (AD > BC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu của E trên AB.

a) Chứng minh ADEH là tứ giác nội tiếp.

Ta có: $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác ADEH có: $$ nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)

b) Tia CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Gọi I là giao điểm của DK và AB. Chứng minh $$.

Tứ giác ADCK nội tiếp nên $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $$)  (1)

Xét tứ giác ECBH có:

$$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó tứ giác ECBH nội tiếp (tứ giác có hai góc đối có tổng số đo bằng $$)

$$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

$$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $$

Lại có $$ nên $$ hay $$

$$ nên DI là đường cao trong tam giác vuông ADB

$$ (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) (đpcm)

c) Khi tam giác DAB không cân, gọi M là trung điểm của EB, tia DC cắt tia HM tại N. Tia NB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HMB tại điểm thứ hai là F. Chứng minh F thuộc đường tròn (O).

Theo câu b, $$ tại $$ nên AB là đường trung trực của DK

$$ $$ là tia phân giác của góc $$

$$  (3)

Tam giác EHB vuông tại H có M là trung điểm EB nên $$ là đường trung tuyến

$$ cân tại $$

$$ (4)

Tứ giác ECBH có: $$ nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$)

$$ (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra $$

$$ là tứ giác nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau)

$$ (tính chất)

Xét $$ và $$ có:

Góc $$ chung

$$ (cạnh tương ứng)

$$  (6)

Tứ giác $$ nội tiếp nên $$ (tính chất)

Xét $$ và $$ có:

Góc $$ chung

$$ (cmt)

$$ (cạnh tương ứng)

$$ (7)

Từ (6) và (7) suy ra $$

Xét $$ và $$ có:

Góc $$ chung

$$ (góc tương ứng)

Mà $$ (kề bù)

Nên $$

Do đó tứ giác DCBF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng $$)

Vậy điểm F nằm trên đường tròn (O) (đpcm).

Câu 5 (1,0 điểm)

Cách giải:

Giải hệ phương trình: $$

Đặt $$

TH1: $$ thay vào $$ được:

TH2: $$ thay vào (2) được:

Với $$ thì $$.

Với $$  ta có:

(Do $$ không thỏa mãn phương trình)

Vì $$ nên $$

$$ hay $$

Lại có,

Với $$ thì $$

Với $$ thì $$

Do đó với $$ thì $$ hoặc $$.

$$ (*) vô nghiệm do $$ và $$ hoặc $$.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $$