3. Đề thi vào 10 môn Toán Thái Nguyên năm 2019

Đề bài

Câu 1: Chứng minh $$ là một số nguyên.

Câu 2:  Rút gọn biểu thức $$ với $$ và $$.

Câu 3: Tìm các giá trị của $$ để hàm số $$ đạt giá trị lớn nhất bằng $$ tại $$.

Câu 5: Một địa phương cấy $$ giống lúa loại $$ và $$ giống lúa loại $$. Sau một mùa vụ, địa phương đó thu hoạch và tính toán sản lượng thấy:

+ Tổng sản lượng của hai giống lúa thu về là $$ tấn;

+ Sản lượng thu về từ $$ giống lúa loại $$ nhiều hơn sản lượng thu về từ $$ giống lúa loại $$ là $$ tấn.

Hãy tính năng suất lúa trung bình (đơn vị: tấn/ha) của mỗi loại giống lúa.

Câu 6: Cho phương trình $$. Tìm $$ để phương trình có hai nghiệm $$ thỏa mãn $$.

Câu 7: Cho tam giác $$ vuông tại $$ , đường cao $$ . Biết $$. Tính độ dài các cạnh $$ của tam giác $$.

Câu 8: Cho đường tròn $$. Đường thẳng $$ tiếp xúc với $$ tại $$. Trên $$ lấy một điểm $$ vẽ đường tròn $$ cắt đường tròn $$ tại điểm $$ Chứng minh $$ là tiếp tuyến của $$.

Câu 9: Cho tam giác $$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $$ Lấy các điểm $$ lần lượt thuộc các cung nhỏ $$ và $$ sao cho $$ vuông góc với $$ vuông góc với $$ Gọi $$ lần lượt là giao điểm của $$ với $$ và $$ Chứng minh $$

Câu 10: Từ điểm $$ nằm ngoài đường tròn $$ kẻ các tiếp tuyến $$ đến đường tròn $$ là tiếp điểm). Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$.

a) Chứng minh $$

b) $$ là một dây cung của $$ đi qua $$ sao cho $$ không thẳng hàng.

Chứng minh bốn điểm $$ nằm trên cùng một đường tròn. 

Lời giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp:

Rút gọn $$, sử dụng hẳng đẳng thức $$.

Cách giải:

Ta có :

Vậy $$ là một số nguyên.

Câu 2

Phương pháp:

+) Sử dụng hằng đẳng thức.

+) Xét dấu, phá trị tuyệt đối và rút gọn.

Cách giải:

Với $$ và $$ ta có:

Câu 3

Phương pháp:

Hàm số $$ đạt giá trị lớn nhất bằng $$  tại $$ khi $$

Cách giải:

Ta thấy hàm số $$ đạt giá trị lớn nhất bằng $$  tại $$

Vậy $$ thỏa mãn bài toán.

Câu 4

Phương pháp:

Đồ thị hàm số song song với đường thẳng $$suy ra $$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2020, suy ra tọa độ giao điểm $$
Thay tọa độ giao điểm vào $$ ta tìm được b.

Cách giải :

Vì đồ thị hàm số $$ song song với đường thẳng $$ nên $$

Mà đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là $$ đồ thị hàm số đi qua điểm $$

Vậy $$

Câu 5

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

- Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Bước 3: Lập hệ phương trình.

- Bước 4: Giải hệ phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Gọi sản lượng lúa của loại I và II trên mỗi $$ lần lượt là $$ và $$ (tấn/ha).  Điều kiện: $$.

$$ giống lúa loại I thu về sản lượng $$ tấn; $$ giống lúa loại II thu về sản lượng $$ tấn

Tổng sản lượng thu về là $$ tấn nên ta có phương trình: $$.

$$ giống lúa loại I thu về sản lượng $$ tấn; $$ giống lúa loại II thu về sản lượng $$ tấn.

Sản lượng thu về từ $$ giống lúa loại $$ nhiều hơn sản lượng thu về từ $$ giống lúa loại $$ là $$ tấn nên ta có phương trình: $$.

Từ $$ và $$ ta có hệ phương trình: $$

Giải hệ: $$

Vậy năng suất lúa trung bình của giống lúa loại I là $$ tấn/ha;  năng suất lúa trung bình của giống lúa loại II là $$ tấn/ha.

Câu 6

Phương pháp:

Phương trình $$ có hai nghiệm $$

Biến đổi để xuất hiện tổng và tích hai nghiệm rồi sử dụng hệ thức Vi-et.

Cách giải:

Phương trình $$ (*)  có  $$

Để phương trình (*) có hai nghiệm $$ thì $$

Theo hệ thức Vi-et ta có $$

Theo bài ra ta có:

Vậy $$ là giá trị cần tìm.

Câu 7:

Phương pháp:

+ Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông. Tính BH

+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác. Tính BC

+ Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC. Tính AC.

Cách giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác $$ vuông tại H. Ta có:

Trong tam giác vuông $$ vuông tại $$ có AH là đường cao

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

Vậy: $$

Câu 8

Phương pháp:

Chứng minh $$ và suy ra điều phải chứng minh.

Cách giải:

$$ là tiếp tuyến với $$ tại $$ $$

$$ (cùng là các bán kính).

Xét tam giác $$ và $$ có:

$$ hay $$ là tiếp tuyến của đường tròn $$ (đpcm).

Câu 9

Phương pháp:

+ Góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

+ Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.

+ Chứng minh hai tam giác $$ và tam giác $$ đồng dạng để suy ra hệ thức cần chứng minh.

Cách giải:

Gọi $$

Xét đường tròn $$ ta có:

$$  (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Mà theo giả thiết  thì $$ tại $$ $$ tại  $$

Từ  (1) và (2) suy ra:  $$

Ta lại có: $$ (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Và  $$  (góc nội tiếp chắn cung $$)

Từ (3), (4), (5) suy ra $$

Xét $$ và $$ có:

Câu 10:

Phương pháp:

a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $$.

b) Chứng minh hai tam giác $$ và $$ đồng dạng suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

Từ đó sử dụng dáu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác $$ nội tiếp.

Cách giải:

a) Vì $$ là tiếp tuyến của đường tròn $$ , $$ là tiếp điểm.

$$ vuông tại B.

Lại có: $$ nằm trên trung trực của $$.

$$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $$ nằm trên trung trực của $$.

Do đó $$ là trung trực của $$ hay $$ tại $$$$

$$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông $$)

Vậy: $$(đpcm).

b) Theo câu a) $$

Mà $$ (cùng bằng bán kính) $$

Xét $$ và $$ có:

$$ (góc tương ứng)

Mà tam giác $$ cân tại $$ $$

Từ $$ và $$ suy ra $$

Xét tứ giác $$ có $$$$ tứ giác $$ nội tiếp (tứ giác có hai đinh kề cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau)

Hay bốn điểm $$ cùng thuộc một đường tròn (đpcm).