Bài 123 trang 95 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.

a. Chứng minh rằng \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)

b. Gọi \(D,\, E\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến \(AB,\, AC.\) Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hình tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy

Lời giải chi tiết

a. \(AH ⊥ BC\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {HAB} + \widehat B = {90^0}\)

\(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) (vì ∆ ABC có \(\widehat A = {90^0}\))

Suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat C\) (1)

\(∆ ABC\) vuông tại \(A\) có \(AM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\)

\(⇒ AM = MC = \dfrac{1}{2} BC\) (tính chất tam giác vuông)

\(⇒ ∆ MAC\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat C\) (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat {MAC}\)

b. xét tứ giác ADHE có:

\(\widehat A = {90^0}\) (gt)

\(\widehat {ADH} = {90^0}\) (vì \(HD ⊥ AB\))

\(\widehat {AEH} = {90^0}\) (vì \(HE ⊥ AC\))

Suy ra: Tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

+ Xét \(∆ ADH\) và \(∆ EHD\) có :

DH chung

\(AD = EH\) ( vì ADHE là hình chữ nhật)

\(AH=DE\) ( vì ADHE là hình chữ nhật)

\(⇒ ∆ ADH = ∆ EHD \,(c.c.c)\)

\( \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {HED}\)

Lại có: \(\widehat {HED} + {\widehat E_1} = \widehat {HEA} = {90^0}\)

Suy ra: \({\widehat E_1} + {\widehat A_1} = {90^0}\)

              \({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (chứng minh câu a)

 \( \Rightarrow {\widehat E_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\)

Trong \(∆ AIE\) ta có:

\(\widehat {AIE} = {180^0} - \left( {{{\widehat E}_1} + {{\widehat A}_1}} \right)\) \(= {180^0} - {90^0} = {90^0}\)

\(\Rightarrow \) \(AM ⊥ DE.\)