Giải các phương trình sau
LG a
\(2\cos x-\sin x=2\)
Phương pháp giải:
-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)
trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)
-Sử dụng công thức \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\) để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(2\cos x-\sin x=2\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{5}}\cos x-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
Ký hiệu \(\alpha\) là góc mà \(\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\) và \(\sin\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
Ta thu được phương trình
\(\cos \alpha\cos x+\sin\alpha\sin x=\cos\alpha\)
\(\Leftrightarrow \cos (x-\alpha)=\cos\alpha\)
\(\Leftrightarrow x-\alpha=\pm\alpha+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x = 2\alpha+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\alpha+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
LG b
\(\sin 5x+\cos 5x=-1\)
Phương pháp giải:
-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)
trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)
-Sử dụng công thức \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\) để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\sin 5x+\cos 5x=-1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 5x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 5x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Trong đó \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta thu được phương trình
\(\cos \dfrac{\pi}{4}\sin 5x+\sin\dfrac{\pi}{4}\cos 5x=\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}\)
\(\Leftrightarrow \sin (5x+\dfrac{\pi}{4})=\sin {\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}\Leftrightarrow\)
\(\left[ \begin{array}{l} 5x+\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-{\left({-\dfrac{\pi}{4}}\right)}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x= -\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{5}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x= -\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{5}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k \in \mathbb{Z}\).
LG c
\(8{\cos}^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
Phương pháp giải:
-Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn phương trình.
-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)
trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)
-Sử dụng công thức khai triển \(\sin\) của một tổng để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(8{\cos}^4 x-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow 8{\left({\dfrac{1+\cos 2x}{2}}\right)}^2\)
\(-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow 2(1+2\cos 2x+{\cos}^2 2x)\)
\(-4\cos 2x+\sin 4x-4=0\)
\(\Leftrightarrow 2{\cos}^2 2x+\sin 4x-2=0\)
\(\Leftrightarrow 1+\cos 4x+\sin 4x-2=0\)
\(\Leftrightarrow \cos 4x+\sin 4x=1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos 4x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin 4x=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \sin\dfrac{\pi}{4}\cos 4x+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin 4x=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \sin{\left({4x+\dfrac{\pi}{4}}\right)}=\sin\dfrac{\pi}{4}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x+\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x+\dfrac{\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=k\dfrac{\pi}{2},k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\).
LG d
\({\sin}^6 x+{\cos}^6+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
Phương pháp giải:
-Thêm bớt \(VT\) thành hằng đẳng thức.
-Sử dụng công thức nhân đôi.
-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)
Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng
\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)
trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)
-Sử dụng công thức khai triển \(\sin\) của một tổng để thu gọn phương trình.
Lời giải chi tiết:
Ta có \({\sin}^6 x+{\cos}^6 x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow ({{\sin}^2 x+{\cos}^2 x)}^3\)
\(-3{\sin}^2 x{\cos}^2 x({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)\)
\(+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 1-3{\sin}^2 x{\cos}^2 x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 1-3{\left({\dfrac{\sin 2x}{2}}\right)}^2+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}{\sin}^2 2x+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}\dfrac{1-\cos 4x}{2}+\dfrac{1}{2}\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 8-3+3\cos 4x+4\sin 4x=0\)
\(\Leftrightarrow 3\cos 4x+4\sin 4x=-5\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\cos 4x+\dfrac{4}{5}\sin 4x=-1\)
Đặt \(\dfrac{3}{5}=\sin\alpha\), \(\dfrac{4}{5}=\cos\alpha\) ta được
\(\sin\alpha\cos 4x+\cos \alpha\sin 4x=-1\)
\(\Leftrightarrow \sin (4x+\alpha)=-1\)
\(\Leftrightarrow 4x+\alpha=\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\)
Vậu phương trình có nghiệm là \(x=\dfrac{3\pi}{8}-\dfrac{\alpha}{4}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\).
Phần một. Một số vấn đề về kinh tế - xã hội thế giới
Unit 3: Social Issues
Chương 1. Trao đổi chất và chuyển hóa năng lượng ở sinh vật
Chủ đề 3: Kĩ thuật bỏ nhỏ và chiến thuật phân chia khu vực đánh cầu
Chuyên đề 3. Mở đầu điện tử học
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11