1. Nội dung câu hỏi
Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.
2. Phương pháp giải
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.
3. Lời giải chi tiết
• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)
• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.
Ta có \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( M \right)\;,\,N'{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( N \right).\)
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.
Suy ra \(\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {{\rm{M'H}}} = \vec 0;\,\,\overrightarrow {KN} + \overrightarrow {KN'} = \vec 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{M'H}}} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN'} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {{\rm{M'H}}} } \right) + \left( {\overrightarrow {KN} + \overrightarrow {KN'} } \right) + 2\overrightarrow {HK} \end{array}\)
\( = \vec 0 + \vec 0 + 2\overrightarrow {HK} \) (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)
\( = 2\overrightarrow {HK} \)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} = \left( {\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} } \right) - \left( {\overrightarrow {HN'} - \overrightarrow {HM'} } \right)\\ = \overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} - \overrightarrow {HN'} + \overrightarrow {HM'} = \left( {\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HN'} } \right) + \left( {\overrightarrow {HM'} - \overrightarrow {HM} } \right) = \overrightarrow {{\rm{N'N}}} + \overrightarrow {MM'} \end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}{\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {{\rm{M'N'}}} ^2} = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} } \right)\left( {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} } \right)\\ = 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {{\rm{N'N}}} + \overrightarrow {MM'} } \right)\\ = 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {{\rm{N'N}}} + 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {MM'} = 2.0 + 2.0 = 0\end{array}\)
(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên \(\overrightarrow {MM'} \bot \overrightarrow {HK} ;\,\,\overrightarrow {NN'} \bot \overrightarrow {HK} \))
Suy ra \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {{\rm{M'N'}}} ^2}\)
Do đó \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Vậy f là một phép dời hình.
Chuyên đề 1: Phát triển kinh tế và sự biến đổi môi trường tự nhiên
Chủ đề 2. Công nghệ giống vật nuôi
Chủ đề 1: Vai trò, tác dụng của môn bóng rổ; kĩ thuật di chuyển và kĩ thuật dẫn bóng
Bài 5. Kiến thức phổ thông về phòng không nhân dân
Chuyên đề 2. Truyền thông tin bằng bằng sóng vô tuyến
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11