Bài 21 trang 88 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác vuông \(ABC\) (\(\widehat A = {90^0}\)), \(AB = 21cm, AC = 28cm;\) đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(D,\) đường thẳng qua \(D\) và song song với \(AB\), cắt \(AC\) tại \(E\) (h18).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(BD, DC\) và \(DE.\)

b) Tính diện tích tam giác \(ABD\) và diện tích tam giác \(ACD.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

- Hệ quả của định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.

- Tính chất:  \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\)

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC\), ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {21^2} + {28^2} \)\(\,= 1225\)

\( \Rightarrow  BC = 35 \;(cm)\)

Vì \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên ta có:

\(\displaystyle {{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác)

Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:

\(\displaystyle {{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

\( \displaystyle \Rightarrow {{BD} \over {BD + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\( \displaystyle \Rightarrow {{BD} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\)

\( \displaystyle \Rightarrow  BD = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{35.21} \over {21 + 28}} = 15\) (cm)

Vậy \(DC = BC - BD = 35 - 15 = 20\)\( \;(cm)\)

Trong tam giác \(ABC\) có \(DE // AB\) nên theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle {{DC} \over {BC}} = {{DE} \over {AB}}\)

\( \displaystyle \Rightarrow DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{20.21} \over {35}} = 12\) (cm)

b) Ta có \( \displaystyle  {S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.21.28 = 294\)\(\;(c{m^2})\)

Vì \(∆ ABC\) và \(∆ ADB\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(A\), do đó:

\(\displaystyle {{{S_{ADB}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{BD} \over {BC}} = {{15} \over {35}} = {3 \over 7} \)

\(\displaystyle   \Rightarrow {S_{ADB}} = {3 \over 7}{S_{ABC}} = {3 \over 7}.294 = 126\)\(\;(c{m^2})  \)

Vậy \({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ADB}} = 294 - 126 \)\(\,= 168\;(c{m^2})\).