Đề bài
Cho \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng \(a\) và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là \(\alpha \). Hình nón đỉnh \(S\) có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều \(ABC\) gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo \(a \) và \(\alpha \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh \({S_{xq}} = \pi rl\).
Lời giải chi tiết
Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC\) và \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\).
Theo giả thiết ta có \(SA = SB = SC = a \) và \(\widehat {SIO} = \alpha \).
Đặt \(OI = r, SO = h\), ta có \(AO = 2r\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{h = r\tan \alpha }\\{{a^2} = {h^2} + 4{r^2}}\end{array}} \right.\) (vì \(S{A^2} = {\rm{ }}S{O^2} + {\rm{ }}A{O^2}\))
Do đó \({a^2} = {r^2}{\tan ^2}\alpha + 4{r^2} = {r^2}({\tan ^2}\alpha + 4)\)
Vậy \(r = \dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\)
Hình nón nội tiếp có đường sinh là: \(l = SI = \dfrac{r}{{\cos \alpha }} = \dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\)
Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp \(S.ABC\) là:
\({S_{xq}} = \pi rl\)\( = \pi .\dfrac{a}{{\sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}.\dfrac{a}{{\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\) \( = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{\cos \alpha ({{\tan }^2}\alpha + 4)}}\)
Unit 5. Cultural Identity
Bài 9. Pháp luật với sự phát triển bền vững của đất nước
PHẦN NĂM. DI TRUYỀN HỌC
Chương 10. Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường
Bài giảng ôn luyện kiến thức giữa học kì 2 môn Lịch sử lớp 12
Chatbot GPT