Bài III.1* phần bài tập bổ sung trang 18 SBT toán 8 tập 2

\(\displaystyle{{13} \over {\left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\displaystyle x \ne  - {7 \over 2}\) và \(\displaystyle x \ne  \pm 3\). 

\(\displaystyle{{13} \over {\left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{13}}{{\left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}}\)\( = \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{13\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( + \dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \)\(= \dfrac{{6\left( {2x + 7} \right)}}{{\left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow13\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) \)\(\displaystyle= 6\left( {2x + 7} \right)  \) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\\
\Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} - 9 - 12x - 42 = 0
\end{array}\)

\(\displaystyle\eqalign{  &  \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \)

\(\displaystyle \Leftrightarrow x +4=  0\) hoặc \(x-3=0\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow x =  - 4\) (thỏa mãn) hoặc \(\displaystyle x = 3\) (loại)

Vậy phương trình có tập nghiệm \( \displaystyle S = \left\{ -4 \right \}.\)

\(\displaystyle{\left( {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right)^3} + 6{\left( {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right)^2} \)\(\displaystyle= {{12\left( {2x - 1} \right)} \over {x + 1}} - 20\)

Phương pháp giải:

Đặt \(\displaystyle y = 1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}\) rồi giải phương trình tìm được.

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Kết luận.

Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\displaystyle y = 1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}\)

Suy ra \(\displaystyle   {{2x - 1} \over {x + 1}}=1-y\)

Nên \(\displaystyle{{12\left( {2x - 1} \right)} \over {x + 1}} - 20 \)\(\displaystyle=12.{{{2x - 1} } \over {x + 1}} - 20 \)\(\displaystyle =  - 12(1-y)-20 \)\(\displaystyle =  - 12y - 8\)

Do đó, phương trình đã cho có dạng \(\displaystyle{y^3} + 6{y^2} =  - 12y - 8\) 

\(\displaystyle\eqalign{  & \Leftrightarrow  {y^3} + 6{y^2} + 12y + 8=0  \cr  &  \Leftrightarrow {y^3} + 3{y^2}.2 + 3y{.2^2} + {2^3} = 0  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {y + 2} \right)^3} = 0  \cr  &  \Leftrightarrow y + 2=0\cr  &  \Leftrightarrow y =  - 2 \cr} \)

Thay lại cách đặt, ta có: 

\(\displaystyle y=-2\Rightarrow 1 - {{2x - 1} \over {x + 1}} =  - 2\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {{2x - 1} \over {x + 1}} = 3\)  ĐKXĐ: \(x\ne-1\)

\(\displaystyle\eqalign{  & \Rightarrow 2x - 1 = 3\left( {x + 1} \right)  \cr  & \Leftrightarrow 2x-1 = 3x+3 \cr  &\Leftrightarrow  2x-3x= 3+1 \cr  & \Leftrightarrow  -x=4\Leftrightarrow x =  - 4 \cr} \)

Giá trị \(x = -4\) thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình có tập nghiệm \( \displaystyle S = \left\{ -4 \right \}.\)