Bài 3.48 trang 181 SBT giải tích 12

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}dx} ;m,n \in {N^*}\)

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Đúng vì trong tích phân  \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx} \), nếu đặt \(\displaystyle  t = 1 - x\) thì \(\displaystyle  dx =  - dt\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^0 {{{\left( {1 - t} \right)}^n}.{t^m}.\left( { - dt} \right)} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {{t^m}.{{\left( {1 - t} \right)}^n}dt} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {{x^m}.{{\left( {1 - x} \right)}^n}dt} \)

\(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}}}{{{e^t} + 1}}} dt = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \)

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}}  + \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \)  (*)

Dùng phương pháp đổi biến \(\displaystyle  t =  - x\) đối với tích phân \(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \), ta được:

\(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}dx}}{{{e^{ - x}} + 1}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^{ - t}} + 1}}} } \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t}}}{{1 + {e^t}}}dt} \)

Thay vào (*) ta có: \(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t}}}{{1 + {e^t}}}dt}  + \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t} + {t^2}}}{{{e^t} + 1}}dt} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}\left( {{e^t} + 1} \right)}}{{{e^t} + 1}}dt}  = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \)

Vậy \(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}}  = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \).

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{{\sin }^3}x\cos xdx = } \int\limits_0^1 {{t^3}} dt\)

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Sai.

Đặt \(\displaystyle  \sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dt\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\sin }^3}s\cos xdx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{t^3}dt}  \ne \int\limits_0^1 {{t^3}dt} \)

Vậy c sai.