Bài 3.5 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

\({2^n} > 2n + 1\) ;

Phương pháp giải:

- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh

Lời giải chi tiết:

Dùng phép thử với \(n = 1,2,3,4\)ta dự đoán: Với \(n \ge 3\) thì bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

+) Với \(n = 3,\) hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì \({2^3} = 8 > 2.3 + 1 = 7.\)

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k,\) tức là \({2^k} > 2k + 1{\rm{          (1)}}\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1,\) tức là

\({2^{k + 1}} > 2k + 3{\rm{           }}\left( 2 \right)\)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

\({2^{k + 1}} > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1 > 2k + 3.\)

\({2^n} > {n^2} + 4n + 5\)

Phương pháp giải:

- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Dùng phép thử.

+) Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.

+) Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi \(n = 7,8,...\)

Ta chứng minh: Với \(n \ge 7\) thì \({2^n} > {n^2} + 4n + 5\) bằng quy nạp.

+) Với \(n=7\) thì \(VT={2^7} = 128 \)

\(VP= {7^2} + 4.7 + 5=82\)

VT > VP nên bđt đúng.

+) Giả sử bđt đúng với \(n=k\ge 7\), nghĩa là

\({2^k} > {k^2} + 4k + 5\) (1)

Ta chứng minh bđt đúng với \(n = k + 1\) nghĩa là \({2^{k + 1}} > {\left( {k + 1} \right)^2} + 4\left( {k + 1} \right) + 5\) hay \({2^{k + 1}} > {k^2} + 6k + 10\)

Thật vậy,

Nhân cả hai vế của (1) với 2 ta được:

\({2^{k + 1}} > 2{k^2} + 8k + 10\)\( = \left( {{k^2} + 6k + 10} \right) + {k^2} + 2k\)

\( > {k^2} + 6k + 10\) \( \Rightarrow {2^{k + 1}} > {k^2} + 6k + 10\)

Vậy ta có đpcm.

\({3^n} > {2^n} + 7n\)

Phương pháp giải:

- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 0,1,2,3\) thì bất đẳng thức không đúng.

Với \(n = 4,5,...\) thì ta thấy bất đẳng thức đúng.

Dự đoán \({3^n} > {2^n} + 7,\forall n \ge 4\).

Thật vậy, với \(n = 4\) thì \(VT = {3^4} > {2^4} + 7.4 = VP\).

Giả sử bđt đúng với \(n = k \ge 4\), nghĩa là \({3^k} > {2^k} + 7k\,\,\left( 1 \right)\).

Ta cần chứng minh \({3^{k + 1}} > {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right)\).

Nhân của hai vế của \(\left( 1 \right)\) với \(3\) ta được \({3.3^k} > {3.2^k} + 21k\) \( \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > {3.2^k} + 21k\) \( > {2.2^k} + 7k + 14k\) \( > {2.2^k} + 7k + 7 = {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right)\)

Vậy \(n \ge 4.\)