1. Nội dung câu hỏi
Cho hình thang cân \(ABCD\) có \(AB//CD,\widehat D = 45^\circ \). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(CD\) tại \(H\). Lấy điểm \(E\) thuộc cạnh \(CD\) sao cho \(HE = DH\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành.
b) Đường thẳng qua \(D\) song song với \(AE\) cắt \(AH\) tại \(F\). Tứ giác \(ADFE\) là hình gì? Vì sao?
c) Tìm điều kiện của hình thang cân \(ABCD\) để \(E\) là trung điểm của \(BF\) (bỏ qua giả thiết \(\widehat D = 45^\circ \)).
2. Phương pháp giải
Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình thang cân, hình chữ nhật hình bình hành hình thoi để chứng minh.
3. Lời giải chi tiết
a) \(\Delta ADH = \Delta AEH\) (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông), suy ra \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrrow \Delta ADE\) cân tại A. \( \Rightarrow \widehat{ADE} = widehat{AED} = 45^0\)
Mà \(ABCD\) là hình thang cân nên \widehat{ADE} = widehat{C}\)
\(\Rightarrow \widehat{C} = widehat{AED} = 45^0\). Mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra AE // BC
Xét tứ giác \(ABCE\), ta có:
\(AE//BC\)
Vì \(AD = AE\) mà \(AD = BC\) nên \(AE = BC\)
Vậy tứ giác \(ABCE\) là hình bình hành.
b) Xét tam giác \(AHE\) và \(FHD\), ta có:
\(\widehat {AEH} = \widehat {FDH}\) (so le trong); \(\widehat {AHE} = \widehat {FHD} = 90^\circ \); \(DH = HE\)
Suy ra \(\Delta AHE = \Delta DHD\) (g.c.g)
Suy ra \(AH = HF\)
Xét tứ giác \(ADEF\), ta có:
\(HD = HE;HA = HF\)
Mà \(AF \bot DE\)
Suy ra tứ giác \(ADEF\) là hình thoi.
c) Để \(E\) là trung điểm của \(BF\) thì \(BE = FE\) và ba điểm \(B,E,F\) thẳng hàng.
Khi bỏ qua giả thiết \(\widehat {ADC} = 45^\circ \) thì ta chứng minh được tứ giác \(ADEF\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(ADEF\) là hình bình hành.
Do \(ABCE\) và \(ADEF\) đều là hình bình hành nên \(AE = BC,AE//BC\) và \(AE = DF.AE//DF\)
Suy ra \(BC = DF\) và \(BC//DF\)
Tứ giác \(BCFD\) có \(BC = DF\) và \(BC//DF\) nên \(BCFD\) là hình bình hành.
Mà \(E\) là trung điểm của \(BF\), suy ra \(E\) là trung điểm của \(CD\) hay \(EC = ED = \frac{1}{2}CD\).
Mặt khác, \(AB = EC\) (vì \(ABCE\) là hình bình hành), suy ra \(AB = \frac{1}{2}CD\)
Dễ thấy nếu hình thang cân \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) có \(AB = \frac{1}{2}CD\) thì \(E\) là trung điểm của \(BF\).
Vậy điều kiện của hình thang cân \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\) để \(E\) là trung điểm của \(BF\) là \(AB = \frac{1}{2}CD\).
CHƯƠNG 1. KHÁI QUÁT VỀ CƠ THỂ NGƯỜI
Unit 7: Ethnic groups in Việt Nam
Unit 3: Please Don't Feed the Monkeys.
Bài 2. Khí hậu châu Á
Bài 5 . Bảo vệ môi trường và tài nguyên thiên nhiên
SGK Toán Lớp 8
SBT Toán Lớp 8
Giải bài tập Toán Lớp 8
Tài liệu Dạy - học Toán Lớp 8
Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 8
SGK Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 8 - Cánh Diều
SGK Toán 8 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo
VBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Tổng hợp Lí thuyết Toán 8
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 8