1. Nội dung câu hỏi
Tính các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{4}{{3x}}}}{{{x^2} - 1}}\)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}}\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{ - 5 + x}}{{x + 3}}\)
d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{14x + 2}}{{ - 7x + 1}}\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{x^2}}}{{3x + 5}}\)
g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{{x + 2}}\)
h) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}}\)
i) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}}\)
k) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{x^2} + 3x - 18}}\)
2. Phương pháp giải
Sử dụng các tính chất về giới hạn hàm số.
3. Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \frac{4}{{3x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{4}{{3x}} = 2 + 0 = 2\).
Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^2} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = + \infty \)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{4}{{3x}}}}{{{x^2} - 1}} = 0\).
b) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{x - 2}} = + \infty \).
c) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \left( { - 5 + x} \right) = \left( { - 5} \right) + \left( { - 3} \right) = - 2 < 0\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{ - 5 + x}}{{x + 3}} = - \infty \).
d) Ta có:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{14x + 2}}{{ - 7x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {14 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left( { - 7 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{14 + \frac{2}{x}}}{{ - 7 + \frac{1}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 14 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 7} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x}}}\)
\( = \frac{{14 + 0}}{{ - 7 + 0}} = - 2\).
e) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{x^2}}}{{3x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{x^2}}}{{x\left( {3 + \frac{5}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x}}{{3 + \frac{5}{x}}}\).
Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2x} \right) = - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 + \frac{5}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{x} = 3 + 0 = 3\).
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x}}{{3 + \frac{5}{x}}} = - \infty \).
g) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( { - x} \right)\sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}}\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 4 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 4 + 0 = 4\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} = \sqrt 4 = 2\).
Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{2}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} = 1 + 0 = 1\).
Như vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = \frac{{ - 2}}{1} = - 2\).
h) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}\).
i) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3 = 2 + 3 = 5\).
k) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{x^2} + 3x - 18}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 6} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{1 - x}}{{x + 6}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} x}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} 6}} = \frac{{1 - 3}}{{3 + 6}} = \frac{{ - 2}}{9}\).
Tải 20 đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hóa học 11
Unit 6: High-flyers
Bài 6: Sulfur và sulfur dioxide
Unit 5: Technology
Bài 4. Một số vấn đề về vi phạm pháp luật bảo vệ môi trường
SGK Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11