Trả lời câu hỏi 59 - Mục câu hỏi trắc nghiệm trang 119

1. Nội dung câu hỏi

Cho hình lập phương $$ có $$.

a) Chứng minh răng $$, $$ và $$.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng $$ và $$.

c) Tính góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$.

d) Tính số đo của góc nhị diện $$.

e) Tính khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$.

g) Chứng minh $$ và tính khoảng cách giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$.

h) Tính thể tích của khối tứ diện $$ và tính khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$.

3. Lời giải chi tiết

a) Do $$ là hình lập phương, nên ta có $$, điều này suy ra $$.

Vì $$ là hình vuông, nên ta có $$.

Vậy ta có $$, $$ nên ta có $$. Ta có điều phải chứng minh.

Do $$, ta suy ra $$.

Do $$, mà $$,ta suy ra $$.

b) Dễ thấy rằng do $$ là hình lập phương, ta có $$, nên góc giữa $$ và $$ cũng bằng góc giữa $$ và $$, và bằng $$.

Do $$ là hình vuông, nên $$.

Vậy góc giữa $$ và $$  bằng $$.

c) Do $$ là hình lập phương, nên ta có $$. Điều này suy ra $$ là hình chiếu của $$ trên $$. Như vậy, góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$ là góc $$.

Do $$ là hình vuông, nên $$.

Vậy góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$  bằng $$.

d) Do $$ là hình lập phương, ta suy ra $$. Điều này dẫn tới $$ và $$. Vậy $$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $$. Theo câu c, ta có $$. Vậy số đo của góc nhị diện $$ bằng $$.

e) Gọi $$ là giao điểm của $$ và $$. Theo câu a, ta có $$, nên $$. Vậy khoảng cách từ $$ đến $$ là đoạn thẳng $$.

Vì $$ là hình vuông cạnh $$, ta suy ra $$. Suy ra $$.

Vậy khoảng cách từ $$ đến $$ bằng $$.

g) Do $$ là hình lập phương, ta suy ra $$.

Mà $$ nên ta suy ra $$.

Vì $$, nên khoảng cách giữa $$ và $$ cũng bằng khoảng cách từ $$ đến $$.

Theo câu a, ta có $$, điều này cũng có nghĩa $$, tức khoảng cách từ $$ đến $$ là đoạn thẳng $$. Mà theo câu e, vì $$, ta kết luận rằng khoảng cách giữa $$ và $$ bằng $$.

h) Do $$ nên thể tích tứ diện $$ là

$$.

Tam giác $$ có $$ (do chúng đều là đường chéo của các mặt của hình lập phương) nên tam giác đó đều.

Diện tích tam giác $$ bằng $$.

Vì thể tích tứ diện $$ cũng có thể được tính bằng công thức $$, ta suy ra $$.

Vậy khoảng cách từ $$ đến mặt phẳng $$ bằng $$.