1. Nội dung câu hỏi
a) Cho \(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\). Tính giá của trị biểu thức \({\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \).
b) Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{4}\). Tính giá của trị biểu thức \(\sin \alpha .\cos \alpha \).
c) Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2}\). Tính giá của trị biểu thức \({\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \).
2. Phương pháp giải
Sử dụng kiến thức về hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc:
a) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\)
b, c) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\)
3. Lời giải chi tiết
a) \({\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha \) \( = {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^3} - 3\tan \alpha \cot \alpha \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)\)
\( \) \( = {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^3} - 3\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right) \) \( = {2^3} - 3.2 \) \( = 2\)
b) \(\sin \alpha + \cos \alpha \) \( = \frac{1}{4} \) \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha \) \( = \frac{1}{{16}} \) \( \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \) \( = \frac{1}{{16}}\)
\( \) \( \Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha \) \( = \frac{{ - 15}}{{32}}\)
c) \(\sin \alpha + \cos \alpha \) \( = \frac{1}{2} \) \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha \) \( = \frac{1}{4} \) \( \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \) \( = \frac{1}{4}\)
\( \) \( \Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha \) \( = \frac{{ - 3}}{8}\)
\({\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \) \( = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha \cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\)
\( \) \( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 3}}{8}.\frac{1}{2} \) \( = \frac{1}{8} + \frac{9}{{16}} \) \( = \frac{{11}}{{16}}\).
Chủ đề 2: Nitrogen và sulfur
Chuyên đề 3. Mở đầu điện tử học
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 (ĐỀ THI HỌC KÌ 2) - VẬT LÍ 11
SGK Ngữ Văn 11 - Cánh Diều tập 2
Tải 20 đề kiểm tra 15 phút - Chương 4
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11
Chatbot GPT