Bài 9 trang 160 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn \((O)\). Tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn lần lượt cắt tia \(AC\) và tia \(AB\) ở \(D\) và \(E\). Chứng minh:

a) \(B{D^2} = AC.CD.\)

b) Tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

c) \(BC\) song song với \(DE\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Chứng minh \(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD\) đồng dạng the trường hợp góc-góc để suy ra hệ thức về cạnh.

b) Sử dụng: Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu hai cung bị chắn để chỉ ra các góc bằng nhau.

 Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau dựa vào tính chất tam giác cân và tứ giác nội tiếp để có \(BC//DE.\)

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(BC\) và \(\widehat {CBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(BC\)  nên  \(\widehat {BAC} = \widehat {CBD}\) .

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD\) có \(\widehat {BDC}\) chung và \(\widehat {BAC} = \widehat {CBD}\,\left( {cmt} \right)\)  nên \(\Delta ABD \backsim \Delta BCD\left( {g - g} \right)\)

Suy ra \(\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{CD}} \Leftrightarrow B{D^2} = AD.CD\) (đpcm)  

b) Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {D_1};\,\widehat {E_1}\) là các góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nên

\(\widehat {D_1} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{AC}-\) sđ\(\overparen{BC}\))  (1)

\(\widehat {E_1} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{AB}-\) sđ\(\overparen{BC}\))   (2)

Ta lại có  \(\overparen{AC}=\overparen{AB}\) (vì \(AB=AC\)) nên từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {D_1} =\widehat {E_1}\)

Hai điểm \(D,E\) cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới một cặp góc bằng nhau và cùng nằm về một phía của BC nên tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

c)  Vì tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {BED} + \widehat {BCD} = 180^\circ \) (tính chất) mà \(\widehat {BCD} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {BED} = \widehat {ACB}\) (cùng bù với \(\widehat {BCD}\)) 

Mặt khác \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BED}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(BC//ED\) (đpcm)