Đề kiểm tra 45 phút chương 1 phần Đại số 9 - Đề số 1

Đề bài

Phần I. Trắc nghiệm

Câu 1 (1,5 điểm). Hãy chọn đáp án đúng.

Giá trị của \(\sqrt {7,5} .\sqrt {2,7} \) bằng:

(A) 45                          (B) 4,5

(C) 15                          (D) 1,5

Câu 2 (1,5 điểm). Hãy chọn đáp án đúng.

Giá trị của \(\dfrac{1}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}\) bằng

(A) \(\sqrt 3 \)                          (B) \(4\sqrt {15} \)

(C) \( - \sqrt 3 \)                                   (D) \( - 4\sqrt {15} \)

Phần II. Tự luận

Câu 3 (3 điểm). Chứng minh đẳng thức:

\(\left( {\dfrac{{a\sqrt a  + b\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {\dfrac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2} = 1\) (với \(a \ge 0,\,\,b \ge 0,\,\,a \ne b\))

Câu 4 (4 điểm). Cho biểu thức

\(M = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}} \right).\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 1\)

a) Rút gọn M.

b) Tính giá trị của x để M có giá trị âm.

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm

Câu 1. Chọn B.

Phương pháp:

Vận dụng kiến thức \(\sqrt a .\sqrt b  = \sqrt {a.b} \) và cách tìm căn bậc hai của một số.

Lời giải:

\(\sqrt {7,5} .\sqrt {2,7} \)\( = \sqrt {7,5.2,7}  = \sqrt {20,25}  = 4,5\)

Câu 2. Chọn C.

Phương pháp:

Quy đồng rồi tính giá trị của biểu thức.

Lời giải:

\(\dfrac{1}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}\)\( = \dfrac{{\sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}} - \dfrac{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}}\) \( = \dfrac{{\sqrt 5  - \sqrt 3  - \sqrt 5  - \sqrt 3 }}{{5 - 3}} = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 }}{2} \)\(=  - \sqrt 3 \)

Phần tự luận:

Câu 3:

Phương pháp:

Rút gọn vế phải để được đẳng thức đúng.

Lời giải:

\(VT = \left( {\dfrac{{\left( {a\sqrt a  + b\sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}} - \sqrt {ab} } \right){\left( {\dfrac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2}  \)\(=\left[ {\dfrac{{{a^2} + b\sqrt {ab}  - a\sqrt {ab}  - {b^2} - \sqrt {ab} \left( {a - b} \right)}}{{a - b}}} \right]{\left( {\dfrac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2}\)

\( = \left[ {\dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2\left( {a - b} \right)\sqrt {ab} }}{{a - b}}} \right]{\left( {\dfrac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2}\) \( = \left[ {\dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) - 2\left( {a - b} \right)\sqrt {ab} }}{{a - b}}} \right]{\left( {\dfrac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2}\) \( = \dfrac{{\left( {a + b - 2\sqrt {ab} } \right)\left( {a - b} \right)}}{{a - b}} \cdot {\left( {\dfrac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{a - b}}} \right)^2}\) \( = \dfrac{{{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 1\)

\(= VP\) (đpcm)

Câu 4:

Phương pháp:

a) Vận dụng các phép biến đổi biểu thức chứa căn và thực hiện các phép tính để rút gọn M.

b) Tìm x khi \(M < 0.\)

Lời giải:

a) ĐKXĐ: \(x > 0,\,\,x \ne 1\)

\(M = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}} \right).\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)\( = \left( {\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}} \right)\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) \( = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 1 - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right)\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) \( = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }}\)

b) Để M có giá trị âm thì ta có : 

\(\dfrac{1}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\sqrt x }} < 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) < 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 < 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt x  < 1 \Leftrightarrow x < 1\)

Vậy \(0 < x < 1\) thì M có giá trị âm.