Trả lời câu hỏi 3 - Mục Thực hành trang 48

1. Nội dung câu hỏi

$\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$

2. Phương pháp giải

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left(u_n\right)$:

Bước 1: Tìm $u_{n+1}$.

Bước 2: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ hoặc xét thương $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ nếu các số hạng của dãy số $\left(u_n\right)$ là số dương.

Bước 3: Kết luận:

- Nếu $u_{n+1}-u_n>0$ hoặc $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ thì $u_{n+1}>u_n,\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$, vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

- Nếu $u_{n+1}-u_n<0$ hoặc $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ thì $u_{n+1}<u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$, vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{(n+1)+1}=\frac{2n+2-1}{n+1+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu: 

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{(2n+1)(n+1)-(2n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{\left(2n^2+n+2n+1\right)-\left(2n^2-n+4n-2\right)}{(n+2)(n+1)} \\ =\frac{2n^2+n+2n+1-2n^2+n-4n+2}{(n+2)(n+1)}=\frac{3}{(n+2)(n+1)}>0,\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*} \end{gathered}$$

Vậy $u_{n+1}-u_n>0\iff u_{n+1}>u_n$. Vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

1. Nội dung câu hỏi

$\left(x_n\right)$ với $x_n=\frac{n+2}{4^n}$

2. Phương pháp giải

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left(u_n\right)$:

Bước 1: Tìm $u_{n+1}$.

Bước 2: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ hoặc xét thương $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ nếu các số hạng của dãy số $\left(u_n\right)$ là số dương.

Bước 3: Kết luận:

- Nếu $u_{n+1}-u_n>0$ hoặc $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ thì $u_{n+1}>u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$, vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

- Nếu $u_{n+1}-u_n<0$ hoặc $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ thì $u_{n+1}<u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$, vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $x_{n+1}=\frac{(n+1)+2}{4^{n+1}}=\frac{n+1+2}{4.4^n}=\frac{n+3}{4.4^n}$

Xét hiệu: $x_{n+1}-x_n=\frac{n+3}{4.4^n}-\frac{n+2}{4^n}=\frac{n+3-4(n+2)}{4.4^n}=\frac{n+3-4n-8}{4.4^n}=\frac{-3n-5}{4.4^n}<0,\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

Vậy $x_{n+1}-x_n<0\iff x_{n+1}<x_n$. Vậy dãy số $\left(x_n\right)$ là dãy số giảm.

1. Nội dung câu hỏi

$\left(t_n\right)$ với $t_n=(-1{)}^n·n^2$

2. Phương pháp giải

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left(u_n\right)$:

Bước 1: Tìm $u_{n+1}$.

Bước 2: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ hoặc xét thương $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ nếu các số hạng của dãy số $\left(u_n\right)$ là số dương.

Bước 3: Kết luận:

- Nếu $u_{n+1}-u_n>0$ hoặc $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ thì $u_{n+1}>u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$, vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

- Nếu $u_{n+1}-u_n<0$ hoặc $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ thì $u_{n+1}<u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$, vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $t_{n+1}=(-1{)}^{n+1}·(n+1{)}^2$

Xét hiệu: $t_{n+1}-t_n=(-1{)}^{n+1}·(n+1{)}^2-(-1{)}^n·n^2$

Với n chẵn: $t_{n+1}-t_n=0-(n+1{)}^2-n^2<0,\forall n\in N^{*}$

Vì vậy dãy số $\left(t_n\right)$ là dãy số giảm.

Với n lẻ: $t_{n+1}-t_n=(n+1{)}^2+n^2>0,\forall n\in N^{*}$

Suy ra $t_{n+1}>t_n,\forall n\in N^{*}$.

Vì vậy dãy số $\left(t_n\right)$ là dãy số tăng.