Trả lời câu hỏi - Hoạt động 3 trang 54

1. Nội dung câu hỏi

Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo u₁ và q để được biểu thức tính tổng S_n chỉ chứa u₁ và q.

2. Phương pháp giải

Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng $S_n$, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: $u_n=u_1·q^{n-1}$.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: u₂ = u₁ . q; ...; u_{n – 1} = u₁ . q^{(n – 1) – 1} = u₁ . q^{n – 2}; u_n = u₁ . q^{n – 1}.

Do đó, S_n = u₁ + u₂ + ... + u_{n – 1} + u_n = u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1} (1).

1. Nội dung câu hỏi

Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q . S_n chỉ chứa u₁ và q.

2. Phương pháp giải

Nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q . S_n.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: q . S_n = q . (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1})

⇔ q . S_n = u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ (2).

1. Nội dung câu hỏi

Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính (1 – q)S_n theo u₁ và q. Từ đó suy ra công thức tính S_n.

2. Phương pháp giải

Trừ (1) - (2) theo vế với vế.

3. Lời giải chi tiết

Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

S_n – q . S_n = (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1} ) – (u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ )

⇔ (1 – q)S_n = u₁ – u₁ . qⁿ

⇔ (1 – q)S_n = u₁(1 – qⁿ)

$\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}($ với $\mathrm{q}\ne 1)$.