Hệ thức Viet và phương pháp giải các dạng bài tập liên quan

Trong chương trình toán 9, hệ thức Viet là phần kiến thức quan trọng nên các em sẽ thường xuyên cần ứng dụng trong các dạng bài tập khác nhau để giải. Bài viết này Admin sẽ cùng các em tổng hợp kiến thức lý thuyết trọng tâm và đưa ra các dạng bài, cùng phương pháp giải hiệu quả để các em áp dụng. Tìm hiểu ngay để có kỹ năng giải bài tập nhanh và hiệu quả nhé!

Để giải quyết được bất kỳ dạng bài tập nào ứng dụng hệ thức Viet, điều quan trọng nhất là các em phải nắm rõ kiến thức lý thuyết trong tâm. Cụ thể như sau:

Tổng hợp các kiến thức lý thuyết cần nhớ về hệ thức Viet

Định nghĩa

Cho phương trình bậc hai một ẩn $a x^2+bx+c=0(a \neq 0)$. Nếu $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình thì ta có:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$P=x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}$

Hệ quả của hệ thức Viet

Theo định lý Viet ta có: Một phương trình bậc 2 có 1 ẩn có nghiệm ta hoàn toàn có thể nhẩm nhanh nghiệm của phương trình này trong các trường hợp như:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình bậc 2 dạng ax² + bx + c có 2 nghiệm x₁ = 1 và x₂ = c/a
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình bậc 2 dạng ax² + bx + c có 2 nghiệm là x₁ = -1 và x₂ = c/a

Định lý Viet đảo

Nếu 2 số thức x₁ và x₂ thỏa mãn điều kiện của hệ thực là:

x₁ + x₂ = S và x₁.x₂ = P (S² - 4P ≥ 0)

Khi đó, số thức x₁ và x₂ đã cho chính là 1 nghiệm của phương trình bậc 2 dạng 1 ẩn như sau: x² - Sx + P = 0

Ứng dụng hệ thức Viet vào giải các dạng bài tập thường gặp như sau:

Hệ thức Viet và ứng dụng vào các dạng bài tập

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình

Như đã chia sẻ ở phần lý thuyết, với dạng bài nhẩm nghiệm phương trình này thường khá đơn giản và cơ bản. Nó sẽ được các giáo viên đưa vào các câu hỏi trắc nghiệm trong đề thì. Muốn tìm ra đáp án, các em chỉ cần áp dụng định nghĩa và hệ quả của định lý Viet.

Ví dụ: Ứng dụng hệ thức Viet để nhẩm nhanh nghiệm của các phương trình sau:

a, 2x² + 5x + 3 = 0

b, 3x² + 8x - 11 = 0

Giải:

a, Ta thấy, phương trình 2x² + 5x + 3 = 0 có dạng a - b + c = 2 - 5 + 3 = 0 => Nghiệm của phương trình nhẩm nhanh sẽ là: x₁ = - 1 và x₂ = -3/2

b, Ta thấy, phương trình 3x² + 8x - 11 = 0 có dạng a + b + c = 3 + 8 - 11 = 0 => Nghiệm của phương trình nhẩm nhanh sẽ là: x₁ = 1 và x₂ = -11/3

Dạng 2: Cho trước 1 nghiệm trong phương trình, tìm nghiệm còn lại và hệ số của phương trình

Với dạng bài này, phương pháp giải của các em cũng là áp dụng hệ thức Viet để tìm kết quả.

Ví dụ: Cho phương trình x² + 5x + q = 0, có một nghiệm của phương trình bằng 5, tìm nghiệm thứ 2 và giá trị 1 của phương trình này.

Giải:

Theo đề bài ta có x₁ = 5, thay giá trị này vào phương trình ban đầu x² + 5x + q = 0, ta được:

x² + 5x + q = 0 ⇔ 25 + 25 + q = 0 => q = -50

Theo hệ thức Viet x₁.x₂ = -50 => x₂ = -50/x₁ = -50/5 = -10

Vậy, nghiệm thứ 2 cần tìm của phương trình trên là -10 và giá trị q là -50.

Dạng 3: Lập phương trình bậc 2

Các em có thể dùng hệ thức Viet vào việc lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm hoặc khi có 2 nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa 2 nghiệm của phương trình. Để các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải, cùng đi vào ví dụ cụ thể và cách giải dưới đây.

Ví dụ: Cho x₁ = 3 và x₂ = 2 hãy lập một phương trình bậc 2 từ 2 nghiệm này theo hệ thức Viet.

Giải:

Theo hệ thức Viet ta có S = x₁ + x₂ = 5 và P = x₁.x₂ = 6, khi x và x là 2 nghiệm của phương trình bậc 2, phương trình sẽ có dạng là: x² - Sx + P = 0 => x² - 5x + 6 = 0.

Dạng 4: Vận dụng hệ thức Viet tìm 2 số khi biết tổng và tích

Đối với dạng bài tìm 2 số khi biết tổng và tích của 2 nghiệm các em sẽ tiến hành giải theo phương pháp sau: Nếu 2 nghiệm đó có tổng bằng S và tích bằng P, thì khi đó 2 nghiệm của phương trình sẽ tạo ra phương trình bậc 2 có dạng x² + Sx + P = 0 (S² - 4P ≥ 0).

Ví dụ: Tìm 2 nghiệm a và b của phương trình khi biết S = a + b = -3 và tích P = a.b = -4.

Giải:

Ví S = a + b = -3 và P = a.b = -4, Theo hệ thức Viet các em có thể viết phương trình bậc 2 ở dạng x² + Sx + P = 0 => phương trình cần tìm là: x² - 3x - 4 = 0.

Giải phương trình trên ta được x₁ = 1 và x₂ = -4

=> Nếu a = 1 thì b = -4 và nếu a = -4 thì b = 1

Dạng 5: Dùng định lý Viet để tính giá trị của biểu thức đối xứng

Cách để nhận biết biểu thức đối xứng là biểu thức có 2 giá trị x₁ và x₂ khi ta đổi chỗ x₁ và x₂ cho nhau mà giá trị của biểu thức không hề thay đổi.

Công thức tổng quát như sau: f(x₁,x₂) = f(x₂,x₁)

Nếu f là một biểu thức đối xứng => biểu thức này luôn tồn tại các cách biểu diễn đối xứng với ẩn là: S = x₁ + x₂ và P = x₁.x₂. Sau khi tìm được S và P, các em thay vào biểu thức và tính giá trị như bình thường để tìm ra kết quả.

Một số cách biểu diễn S và P thường gặp trong ứng dụng định lý Viet để tính giá trị biểu thức đối xứng như sau:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁.x₂ = S² - 2P

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ - 3x₁.x₂(x₁ + x₂) = S³ - 3SP

x₁⁴ + x₂⁴ = (x₁² + x₂²)² - 2x₁².x₂² = (S² - 2P)² - 2P²

1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁.x₂) = S/P

1/x₁² + 1/x₂² = (x₁² + x₂²)/(x₁².x₂²) = (S² - 2P)/P²

Dạng 6: Hệ thức Viet và ứng dụng nâng cao trong các dạng bài tập có chứa tham số

Với dạng bài tập về phương trình có chứa tham số, điều kiện đầu tiên các em sẽ phải xét chính là các trường hợp để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm. Sau đó các em sẽ áp dụng định lý Viet vào phương trình trên để tìm ra nghiệm của phương trình đó theo tham số mà đề bài đã được ra. Cuối cùng là kết hợp tất cả các dữ kiện để tìm ra đáp án cuối cùng chính xác của bài tập.

Ví dụ: Cho một phương trình dạng: mx² - 6(m - 1)x + 9(m - 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m để phương trình trên có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức x₁ + x₂ = x₁.x₂.

Giải:

Để phương trình mx² - 6(m - 1)x + 9(m - 3) = 0 có 2 nghiệm thì x và x phải thỏa mãn điều kiện là m ≠ 0 và ∆’ = [3(m-21]² - 9(m - 3) ≥ 0

=> ∆’ = 9 (m² - 2m + 1) - 9m² + 27 ≥ 0

=> ∆’ = 9(m - 1) ≥ 0 => m ≥ -1

Theo hệ thức Viet ta có: x₁ + x₂ = 6(m - 1)/m và x₁.x₂ = 9(m - 3)/m với giá thiết x₁ + x₂ = x₁.x₂

=> 6(m - 1)/m = 9(m - 3)/m ⇔ 6(m - 1) = 9(m - 3) ⇔ 6m - 6 = 9m - 27

⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7

Với m = 7 thì phương trình mx² - 6(m - 1)x + 9(m - 3) = 0 cho 2 nghiệm và thỏa mãn hệ thức x₁ + x₂ = x₁.x₂.

Như vậy, toàn bộ kiến thức trong bài viết đã cung cấp đầy đủ lý thuyết trọng tâm về hệ thức Viet. Không những vậy, Admin còn chia sẻ cho các em về các dạng bài áp dụng hệ thức Viet vào giải. Hy vọng nó hữu ích và giúp các em giải quyết các dạng bài tập một cách nhanh chóng và đơn giản nhất.