Nhắc lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các công thức mở rộng

Ghi nhớ hằng đẳng thức là kiến thức bắt buộc để các em có thể học tốt môn toán Đại số.Kiến thức về hằng đẳng thức đã được dạy từ lớp 8, tuy nhiên lên lớp 9 nhiều em lại quên. Thậm chí nhiều bạn còn không biết cách đọc hay áp dụng chúng vào để giai bài tập. Một hiện trạng thật đáng buồn.

Hãy cùng cô nhắc lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các công thức mở rộng một cách thú vị hơn trong bài viết dưới đây nhé.

Bình phương của một tổng:$(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2$

Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai

Bình phương của một hiệu: $(A-B)^2=A^2-2 A B+B^2$

Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.

Hiệu hai bình phương: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Hiệu hai bình phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.

Lập phương của một tổng: $(A+B)^3=A^3+3 A^2 B+3 A B^2+B^3$

Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai cộng với lập phương số thứ hai.

Lập phương của một hiệu: $(A-B)^3=A^3-3 A^2 B+3 A B^2-B^3$

Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai

Tổng hai lập phương: $A^3+B^3=(A+B)\left(A^2-A B+B^2\right)$

Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó

Hiệu hai lập phương: $A^3-B^3=(A-B)\left(A^2+A B+B^2\right)$

Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Từ 7 hằng hằng đẳng thức trên, ta có thể suy ra các hằng đẳng thức mở rộng khác.

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

$(a+b)^2=(a-b)^2+4 a b$
$(a-b)^2=(a+b)^2-4 a b$
$a^2+b^2=(a+b)^2-2 a b$
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2 a b+2 a c+2 b c$
$(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2 a b-2 a c-2 b c$
$(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2 a b-2 a c-2 b c$

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

$a^3+b^3=(a+b)^3-3 a^2 b-3 a b^2$
$a^3+b^3=(a+b)^3-3 a b(a+b)$
$a^3-b^3=(a-b)^3+3 a^2 b-3 a b^2$
$a^3-b^3=(a-b)^3+3 a b(a-b)$
$a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)$
$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)$
$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$

Hệ quả tổng quát

$a^n+b^n=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2} b+a^{n-3} b^2-a^{n-4} b^3+\ldots+a^2 b^{n-3}-a \cdot b^{n-2}+b^{n-1}\right)$
$a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+\ldots+a^2 b^{n-3}+a b^{n-2}+b^{n-1}\right)$

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

$(a+b)(b+c)(c+a)-8 a b c=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2$
$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(a b+b c+c a)-a b c$

Nhiều em học sinh thường gặp rắc rối trong việc viết lại các ký tự trong hằng đẳng thức. Nên các em chọn cách học thuộc lời để viết lại công thức. Hiện nay, tất cả 7 hằng đẳng thức cơ bản đều có cách đọc cụ thể. Cách đọc này đã được chia sẻ ở Phần I, các em có thể xem lại nhé.

Hiện nay, các dạng bài tập về 7 hằng đẳng thức rất đa dạng. Có hơn 10 dạng toán khác nhau liên quan đến các công thức hằng đẳng thức. Ở đây, cô sẽ giới thiệu đến các bạn 5 dạng bài phổ biến nhất về hằng đẳng thức nhé.

Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức

Tính giá trị của biểu thức : $A=x^2-4 x+4$ tại $x=-1$

Lời giải.

Ta có : $A=x^2-4 x+4=x^2-2 \cdot x \cdot 2+2^2=(x-2)^2$

Tại $x=-1: A=((-1)-2)^2=(-3)^2=9$

$\Rightarrow$ Kết luận: Vậy tại $x=-1$ thì $A=9$

Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc biến.

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x: A=(x-1)^2+(x+1)(3-x)$

Lời giải.

Ta có: $A=(x-1)^2+(x+1)(3-x)$

$=x^2-2 x+1-x^2+3 x+3-x=4$ : hằng số không phụ thuộc vào biến $x$.

Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.

Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^2-2 x+5$

Lời giải:

Ta có : $A=x^2-2 x+5=\left(x^2-2 x+1\right)+4=(x-1)^2+4$

Vi $(x-1)^2 \geq 0$ với mọi $x$.

$\Rightarrow(x-1)^2+4 \geq 4$ hay $A \geq 4$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\mathrm{A}=4$, Dấu "=" xảy ra khi : $x-1=0$ hay $x=1$

$\Rightarrow$ Kết luận GTNN của $A$ là: $A_{\min }=4 \Leftrightarrow x=1$

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: $A=4 x-x^2$

Lời giải:

Ta có : $A=4 x-x^2=4-4+4 x-x^2=4-\left(4-4 x+x^2\right)=4-\left(x^2-4 x+4\right)=4-(x-2)^2$

Vì $(x-2)^2 \geq 0$ với mọi $x \Leftrightarrow-(x-2)^2 \leq 0$ với mọi $x$

$\Leftrightarrow 4-(x-2)^2 \leq 4$ [cộng 2 vế với 4 ]

$\Leftrightarrow A \leq 4$ Dấu "=" xảy ra khi : $x-2=0$ hay $x=2$

$\Rightarrow$ Kết luận GTLN của $A$ là: $A_{\max }=4 \Leftrightarrow x=2$.

Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: $(a+b)^3-(a-b)^3=2 b\left(3 a^2+b^2\right)$

Lời giải:

Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

$\begin{aligned} & \text { Ta có: VT }=(a+b)^3-(a-b)^3 \\ & =\left(a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3\right)-\left(a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3\right) \\ & =a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3-a^3+3 a^2 b-3 a b^2+b^3 \\ & =6 a^2 b+2 b^3 \\ & =2 b\left(3 a^2+b^2\right)=V P(đ p c m) \\ & \Rightarrow \text { Kết luận, vậy: }(a+b)^3-(a-b)^3=2 b\left(3 a^2+b^2\right)\end{aligned}$

Ngoài 5 dạng trên còn có các dạng như rút gọn biểu thức, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến.. cũng sẽ sử dụng hằng đẳng thức để giải đề.

Hằng đẳng thức vừa dễ nhớ, vừa hữu ích khi học toán phải không nào? Hãy cố gắng ghi nhớ và làm thật nhiều đề để thành thạo các công thức này nhé.

Chúc các em sẽ áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thật tốt và thi được điểm cao nhé!