/

/

Nhắc lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các công thức mở rộng

Admin FQA

19/12/2022, 18:58

2668

Ghi nhớ hằng đẳng thức là kiến thức bắt buộc để các em có thể học tốt môn toán Đại số.Kiến thức về hằng đẳng thức đã được dạy từ lớp 8, tuy nhiên lên lớp 9 nhiều em lại quên. Thậm chí nhiều bạn còn không biết cách đọc hay áp dụng chúng vào để giai bài tập. Một hiện trạng thật đáng buồn. 

Hãy cùng cô nhắc lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các công thức mở rộng một cách thú vị hơn trong bài viết dưới đây nhé. 

  1. Bình phương của một tổng:$(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2$

Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai

  1. Bình phương của một hiệu: $(A-B)^2=A^2-2 A B+B^2$

Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.

  1. Hiệu hai bình phương: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Hiệu hai bình phương của hai số bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.

  1. Lập phương của một tổng: $(A+B)^3=A^3+3 A^2 B+3 A B^2+B^3$

Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai cộng với lập phương số thứ hai.

  1. Lập phương của một hiệu: $(A-B)^3=A^3-3 A^2 B+3 A B^2-B^3$

Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng với ba lần tích số thứ nhất  nhân với bình phương số thứ hai trừ đi lập phương số thứ hai

  1. Tổng hai lập phương: $A^3+B^3=(A+B)\left(A^2-A B+B^2\right)$

Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó

  1. Hiệu hai lập phương: $A^3-B^3=(A-B)\left(A^2+A B+B^2\right)$

Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Từ 7 hằng hằng đẳng thức trên, ta có thể suy ra các hằng đẳng thức mở rộng khác. 

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

  • $(a+b)^2=(a-b)^2+4 a b$
  • $(a-b)^2=(a+b)^2-4 a b$
  • $a^2+b^2=(a+b)^2-2 a b$
  • $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2 a b+2 a c+2 b c$
  • $(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2 a b-2 a c-2 b c$
  • $(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2 a b-2 a c-2 b c$

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

  •  $a^3+b^3=(a+b)^3-3 a^2 b-3 a b^2$
  •  $a^3+b^3=(a+b)^3-3 a b(a+b)$
  •  $a^3-b^3=(a-b)^3+3 a^2 b-3 a b^2$
  •  $a^3-b^3=(a-b)^3+3 a b(a-b)$
  •  $a^3+b^3+c^3-3 a b c=(a+b+c)\left(a^2+b^2+c^2-a b-b c-c a\right)$
  •  $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)$
  •  $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$

Hệ quả tổng quát

 

  • $a^n+b^n=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2} b+a^{n-3} b^2-a^{n-4} b^3+\ldots+a^2 b^{n-3}-a \cdot b^{n-2}+b^{n-1}\right)$
  • $a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+a^{n-3} b^2+\ldots+a^2 b^{n-3}+a b^{n-2}+b^{n-1}\right)$

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

  • $(a+b)(b+c)(c+a)-8 a b c=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2$
  •  $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(a b+b c+c a)-a b c$

Nhiều em học sinh thường gặp rắc rối trong việc viết lại các ký tự trong hằng đẳng thức. Nên các em chọn cách học thuộc lời để viết lại công thức. Hiện nay, tất cả 7 hằng đẳng thức cơ bản đều có cách đọc cụ thể. Cách đọc này đã được chia sẻ ở Phần I, các em có thể xem lại nhé.

Hiện nay, các dạng bài tập về 7 hằng đẳng thức rất đa dạng. Có hơn 10 dạng toán khác nhau liên quan đến các công thức hằng đẳng thức. Ở đây, cô sẽ giới thiệu đến các bạn 5 dạng bài phổ biến nhất về hằng đẳng thức nhé.

Dạng 1: Tính giá trị của các biểu thức

Tính giá trị của biểu thức : $A=x^2-4 x+4$ tại $x=-1$

 Lời giải.

Ta có : $A=x^2-4 x+4=x^2-2 \cdot x \cdot 2+2^2=(x-2)^2$

Tại $x=-1: A=((-1)-2)^2=(-3)^2=9$

$\Rightarrow$ Kết luận: Vậy tại $x=-1$ thì $A=9$

Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc biến.

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x: A=(x-1)^2+(x+1)(3-x)$ 

Lời giải.

Ta có: $A=(x-1)^2+(x+1)(3-x)$

 $=x^2-2 x+1-x^2+3 x+3-x=4$ : hằng số không phụ thuộc vào biến $x$.

Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.

Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^2-2 x+5$

Lời giải:

Ta có : $A=x^2-2 x+5=\left(x^2-2 x+1\right)+4=(x-1)^2+4$

Vi $(x-1)^2 \geq 0$ với mọi $x$.

$\Rightarrow(x-1)^2+4 \geq 4$ hay $A \geq 4$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\mathrm{A}=4$, Dấu "=" xảy ra khi : $x-1=0$ hay $x=1$

$\Rightarrow$ Kết luận GTNN của $A$ là: $A_{\min }=4 \Leftrightarrow x=1$

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức bằng nhau.

Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: $A=4 x-x^2$

Lời giải:

Ta có : $A=4 x-x^2=4-4+4 x-x^2=4-\left(4-4 x+x^2\right)=4-\left(x^2-4 x+4\right)=4-(x-2)^2$

Vì $(x-2)^2 \geq 0$ với mọi $x \Leftrightarrow-(x-2)^2 \leq 0$ với mọi $x$

$\Leftrightarrow 4-(x-2)^2 \leq 4$ [cộng 2 vế với 4 ]

$\Leftrightarrow A \leq 4$ Dấu "=" xảy ra khi : $x-2=0$ hay $x=2$

$\Rightarrow$ Kết luận GTLN của $A$ là: $A_{\max }=4 \Leftrightarrow x=2$.

Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: $(a+b)^3-(a-b)^3=2 b\left(3 a^2+b^2\right)$

Lời giải:

Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

$\begin{aligned} & \text { Ta có: VT }=(a+b)^3-(a-b)^3 \\ & =\left(a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3\right)-\left(a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3\right) \\ & =a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3-a^3+3 a^2 b-3 a b^2+b^3 \\ & =6 a^2 b+2 b^3 \\ & =2 b\left(3 a^2+b^2\right)=V P(đ p c m) \\ & \Rightarrow \text { Kết luận, vậy: }(a+b)^3-(a-b)^3=2 b\left(3 a^2+b^2\right)\end{aligned}$

Ngoài 5 dạng trên còn có các dạng như rút gọn biểu thức, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến.. cũng sẽ sử dụng hằng đẳng thức để giải đề. 

Hằng đẳng thức vừa dễ nhớ, vừa hữu ích khi học toán phải không nào? Hãy cố gắng ghi nhớ và làm thật nhiều đề để thành thạo các công thức này nhé. 

Chúc các em sẽ áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thật tốt và thi được điểm cao nhé!

Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bài viết liên quan
Tổng hợp kiến thức Toán lớp 5 đầy đủ nhất
Tổng hợp kiến thức Toán lớp 5 đầy đủ nhất

Nắm chắc kiến thức môn Toán 5 với các lý thuyết cơ bản và các dạng bài thường gặp.

Admin FQA

15/10/2025

Tổng hợp kiến thức Toán lớp 4 dễ hiểu nhất
Tổng hợp kiến thức Toán lớp 4 dễ hiểu nhất

Nắm chắc kiến thức Toán lớp 4 với các lý thuyết cơ bản và các dạng bài thường gặp.

Admin FQA

15/10/2025

Tổng hợp kiến thức Toán 3 quan trọng
Tổng hợp kiến thức Toán 3 quan trọng

Nắm vững kiến thức Toán lớp 3 với các lý thuyết cơ bản, công thức cụ thể và ví dụ chi tiết.

Admin FQA

14/10/2025

Tan chảy với các câu thả thính bằng tiếng Anh
Tan chảy với các câu thả thính bằng tiếng Anh

Bạn muốn thả thính CRUSH bằng những câu tiếng Anh cực chất khiến nàng đổ gục và cảm thấy ngây ngất. Nhưng bạn lo lắng mình sẽ gặp một số lỗi khi viết tiếng Anh. Để giúp bạn không phải lo lắng về vấn đề này thì dưới đây sẽ là những câu thả bằng tiếng Anh làm tan chảy trái tim CRUSH. Do đó bạn có thể thoải mái lựa chọn câu nào mình thích nhất để tặng người thương thầm nhớ trộm.

Admin FQA

23/07/2024

Các cấu trúc và quy tắc cần nắm khi sử dụng "Dispite"
Các cấu trúc và quy tắc cần nắm khi sử dụng "Dispite"

Cấu trúc "despite" trong tiếng Anh được sử dụng để chỉ sự tương phản giữa các ý trong câu. Tuy nhiên, cái mà theo sau "despite" thường làm cho nhiều sinh viên lẫn lộn vì có nhiều cấu trúc ngữ pháp tương tự.

Admin FQA

23/07/2024

Tổng hợp các công thức ngữ pháp với would rather
Tổng hợp các công thức ngữ pháp với would rather

Khi bạn muốn thể hiện các mong muốn, sở thích của bản thân trong tiếng Anh mà không muốn sử dụng I like, I want thì cấu trúc would rather là một gợi ý cho bạn. Cấu trúc này có cách sử dụng khác nhau tùy thuộc vào các thì trong câu. Vậy bạn đã biết công thức và cách sử dụng cấu trúc này chưa? Theo dõi bài viết ngay để cùng Langmaster giải đáp tất tần tật mọi thứ về cấu trúc would rather bạn nhé!

Admin FQA

23/07/2024

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
location.svg Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey
Đặt câu hỏi