[Toán 9] Tỉ số lượng giác của góc nhọn và các dạng bài tập

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì? Nắm trọn kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập kèm cách giải, cùng bài tập sẽ giúp các em học giỏi hơn. Click ngay!

Tỉ số lượng giác là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán 9, nắm đầy đủ và chuẩn xác kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết được rất nhiều các dạng bài tập khác nhau. Trong bài viết này, Admin vừa cung cấp kiến thức trọng tâm quan trọng về tỉ số lượng giác của góc nhọn, vừa cung cấp các dạng bài thường gặp kèm ví dụ minh họa để các em dễ hình dung. Bắt đầu bài viết ngay nhé!

Lý thuyết tỉ số lượng giác của góc nhọn

Trước khi đến với/ làm các dạng bài tập về tỉ số lượng giác, các em cần nắm trọn lý thuyết về tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác. Cụ thể như sau:

Lý thuyết tỉ số lượng giác của góc nhọn

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho một góc nhọn α, từ một điểm bất kỳ trên một cạnh chứa góc α, kẻ một đường thẳng vuông góc với cạnh còn lại. Khi đó ta được:

• Sinα = cạnh đối/cạnh huyền
• Cosα = cạnh kề/cạnh huyền
• Tanα = cạnh đối/cạnh kề
• Cotα = cạnh kề/cạnh đối

Vì độ dài của tất cả các cạnh trong một tam giác đều dương và cạnh huyền lớn hơn 2 cạnh góc vuông. Nên ta có: 0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1; tanα > 0 và cotα > 0.

Tam giác ABC góc α

Cho một tam giác vuông ABC, vuông tại B, góc nhọn BCA = α, khi đó ta có:

1. Sinα = AB/BC
2. Cosα = AC/BC
3. Tanα = AB/AC
4. Cotα = AC/AB

Cách nhớ tỉ số lượng giác của góc nhọn đơn giản

Để nhớ tỉ số lượng giác của góc nhọn dễ dàng và nhanh chóng, các em có thể học thuộc bài thơ ngắn như sau:

Sin đi học (cạnh đối/cạnh huyền)

Cos không hư (cạnh kề/ cạnh huyền)

Tan đoàn kết (cạnh đối/cạnh kề)

Cot kết đoàn (cạnh kề/cạnh đối)

(Nguồn: Sưu tầm trên Internet)

Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau

Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau (tổng 2 góc bằng 90 độ) khi đó, Sin góc này sẽ bằng Cos góc kia, Tan góc này sẽ bằng Cot góc còn lại. Cụ thể như sau:

• Sin B = Cos C
• Cos B = Sin C
• Tan B = Cot C 
• Cot B = Cot C

Một số hệ thức cơ bản của tỉ số lượng giác

• Tanα = Sinα/Cosα
• Cotα = Cosα/Sinα
• Tanα.Cotα = 1
• Sin²α + Cos²α = 1
• Tan²α + 1 = 1/Cos²α
• Cot²α + 1 = 1/Sin²α

So sánh các tỉ số lượng giác

Cho α, β là hai góc nhọn, nếu góc α < β, khi đó ta có:

1. Sinα < Sinβ
2. Tanα < Tanβ
3. Cosα > Cosβ
4. Cotα > Cotβ

=> Sinα < Tanα và Cosα < Cotα

Cho góc x ($0^{\circ}$ < x < $90^{\circ}$), khi đó ta có:

• Sinx = Cos ($90^{\circ}$ - x)
• Cosx = Sin ($90^{\circ}$ - x)
• Tanx = Cot ($90^{\circ}$ - x)
• Cotx = Tan ($90^{\circ}$ - x)

Các dạng bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9

Lý thuyết về tỉ số lượng giác liên quan đến góc nhọn lớp 9 khá ít và đơn giản. Trong quá trình làm bài tập, các em sẽ gặp các dạng bài và phương pháp giải của từng dạng bài sẽ được Admin chia sẻ chi tiết như sau:

Các dạng bài tập về tỉ số lượng giác của góc nhọn lớp 9

Dạng 1: Tính các tỉ số lượng giác của góc

Để tính được tỉ số lượng giác của góc trong một tam giác, các em cần nhớ tỉ số lượng giác của góc nhọn và tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau. Sau đó áp dụng vào bài tập để tìm kết quả theo yêu cầu của đề bài thôi. Cùng đi vào ví dụ cụ thể để dễ hiểu hơn nhé!

Ví dụ 1.1: Cho một hình tam giác ABC vuông tại điểm A, biết được rằng Cos B = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C?

Giải:

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên góc B và góc C là 2 góc phụ nhau

=> Góc B + Góc C = $90^{\circ}$ => SinC = CosB = 0,8

Áp dụng hệ thức Sin²C + Cos²C = 1, ta có:

CosC = √(1 - Sin²C) (vì C là góc nhọn nên SinC và CosC >0)

=> CosC = √(1 - 0,8²) = √0,36 = 0,6

Mặt khác:

TanC = SinC/CosC = 0,8/0,6 = 4/3

CotC = CosC/SinC = 0,6/0,8 = ¾

Vậy, SinC = 0,8, TanC = 4/3, CosC = 0,6 và CotC = ¾

Ví dụ 1.2. Cho một tam giác vuông ABC, vuông tại A, có góc B = 60⁰ và cạnh huyền có độ dài là 8cm. Hãy tính độ dài cạnh đối diện với góc 60⁰?

Giải:

Hình minh họa cho ví dụ 1.2

Theo đề bài ta có, cạnh đối với góc B là AC, ta có:

SinB = AC/BC => AC = BC.SinB = 8.$\operatorname{Sin} 60^{\circ}$ = 8.√3/2 = 4√3 (cm)

Vậy cạnh đối diện góc $60^{\circ}$ bằng 4√3cm.

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức 

Đối với dạng bài về chứng minh các đẳng thức, muốn giải bài tập và tìm ra đáp án chuẩn xác các em cần vận dụng kiến thức được Admin chia sẻ về hệ thức cơ bản.

Ví dụ 2.1: Hãy chứng minh các đẳng thức sau:

a, Cos⁴α - Sin⁴α = Cos²α - Sin²α

b, Sin⁴α + Cos²α.Sin²α + Sin²α = 2Sin²α

Giải:

a, Cos⁴α - Sin⁴α = Cos²α - Sin²α

Ta biến đổi vế phải của đẳng thức như sau:

Cos⁴α - Sin⁴α = (Cos²α)² - (Sin²α)² = (Cos²α - Sin²α)(Sin²α + Cos²α)

= (Cos²α - Sin²α).1 = Cos²α - Sin²α = vế trái

=> Đã chứng minh được đẳng thức trên.

b, Sin⁴α + Cos²α.Sin²α + Sin²α = 2Sin²α

Ta biến đổi về phải của đẳng thức như sau:

Sin⁴α + Cos²α.Sin²α + Sin²α = Sin²α(Sin²α + Cos²α + 1) = Sin²α (1 + 1)

= 2.Sin²α = vế trái

=> Đã chứng minh được đẳng thức trên.

Ví dụ 2.2: Cho một tam giác nhọn ABC, có đường cao AH = h và diện tích S, biết đường răng S = h², hãy chứng minh đẳng thức CotB + CotC = 2?

Giải: 

Hình ảnh minh họa cho ví dụ 2.2

Ta có công thức tính diện tích tam giác là: S = 1/2BC.AH = 1/2BC.h

Theo đề bài ta có diện tích tam giác ABC = h² => S = 1/BC.h = h² 

=> BC = 2h

Mặt khác CotB = BH/AH và CotC = CH/AH

=> CotB + CotC = BH/AH + CH/AH = BC/AH = 2h/h = 2

Vậy, biểu thức CotB + CotC = 2 đã được chứng minh.

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức

Đối với dạng bài này, các em sẽ sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau và hệ thức cơ bản để tính giá trị của biểu thức. Để hiểu rõ hơn về cách giải, các em cũng Admin đi vào một số ví dụ cơ bản như sau:

Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức sau mà không sử dụng máy tính hoặc bảng số.

$a, A=\operatorname{Sin}^2 15^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 25^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 35^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 45^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 55^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 65^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 75^{\circ}$

b, $B=4 \operatorname{Cos}^2 \alpha-2 \operatorname{Sin}^2 \alpha$ với $\operatorname{Cos} \alpha=4 / 7$

Giải:

$\begin{aligned} & a, A=\operatorname{Sin}^2 15^0+\operatorname{Sin}^2 25^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 35^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 45^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 55^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 65^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 75^{\circ} \\ & =\left(\operatorname{Sin}^2 15^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 75^{\circ}\right)+\left(\operatorname{Sin}^2 25^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 65^{\circ}\right)+\left(\operatorname{Sin}^2 35^{\circ}+\operatorname{Sin}^2 55^{\circ}\right)+\operatorname{Sin}^2 45^{\circ} \\ & =\left(\operatorname{Sin}^2 15^{\circ}+\operatorname{Cos}^2 15^{\circ}\right)+\left(\operatorname{Sin}^2 25^{\circ}+\operatorname{Cos}^2 25^{\circ}\right)+\left(\operatorname{Sin}^2 35^{\circ}+\operatorname{Cos}^2 35^{\circ}\right)+\operatorname{Sin}^2 45^{\circ} \\ & =1+1+1+1 / 2=7 / 2\end{aligned}$

b, B = 4Cos²α - 2Sin²α với Cosα = 4/7

Ta có: Sin²α +  Cos²α = 1 => Sin²α = 1 - Cos²α = 1 - (4/7)² = 33/49

=> B = 4Cos²α - 2Sin²α = 4.(16/49) - 4(33/49) = -5/7

Dạng 4: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào góc nhọn

Để chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào góc nhọn, các em cần nắm được đầy đủ các kiến thức lý thuyết về tỉ số lượng giác góc nhọn. Cách chứng minh sẽ được Admin chia sẻ chi tiết qua ví dụ dưới đây.

Ví dụ 4: Hãy chứng minh giá trị của các biểu thức dưới đây không bị phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn α và β?

Giải:

a, Cos²α.Cos²β + Cos²α.Sin²β + Sin²α

b, 2(Sinα - Cosα)² - (Sinα + Cosα)² + 6Sinα.Cosα

c. (Tanα - Cotα)² - (Tanα + Cotα)²

Giải:

a, Cos²α.Cos²β + Cos²α.Sin²β + Sin²α

= Cos²α(Cos²β + Sin²β) +  Sin²α

= Cos²α + Sin²α = 1

b, 2(Sinα - Cosα)² - (Sinα + Cosα)² + 6Sinα.Cosα

= 2(1 - Sinα.Cosα) - (1 + 2Sinα.Cosα) + 6Sinα.Cosα

= 1 - 6Sinα.Cosα + 6Sinα.Cosα = 1 - 0 = 1

c, (Tanα - Cotα)² - (Tanα + Cotα)²

= (Tan²α - 2Tanα.Cotα + Cot²α) - (Tan²α + 2Tanα.Cotα + Cot²α)

= - 4Tanα.Cotα = - 4

Dạng 5: So sánh tỉ số lượng giác của góc

Đối với dạng bài về so sánh tỉ số lượng giác của góc trong tam giác, cách giải là các em sẽ cần đưa các tỉ số về cùng một loại. Sau đó tiến hành biểu diễn các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt trên trục số. Rồi chèn các tỉ số cần sắp xếp trên trục là các em sẽ thấy ngay thứ tự lớn bé của các giá trị và so sánh chúng một cách dễ dàng nhất.

Ví dụ 5: Hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến bé. Lưu ý không dùng đến máy tính bỏ túi hoặc bảng số.

a, $\operatorname{Sin} 78^{\circ}, \operatorname{Cos} 14^{\circ}, \operatorname{Sin} 47^{\circ}$ và $\operatorname{Cos} 87^{\circ}$

b, $\operatorname{Tan} 73^{\circ}, \operatorname{Cot} 25^{\circ}, \operatorname{Cot} 38^{\circ}, \operatorname{Tan} 62^{\circ}$

Giải:

a, Ta có: 

$\begin{aligned} & \operatorname{Sin} 78^{\circ}=\operatorname{Cos}\left(90^{\circ}-78^{\circ}\right)=\operatorname{Cos} 12^{\circ} \\ & \operatorname{Sin} 47^{\circ}=\operatorname{Cos}\left(90^{\circ}-47^{\circ}\right)=\operatorname{Cos} 43^{\circ}\end{aligned}$

=> nếu α < β thì cosα > cosβ 

=> $\operatorname{Cos} 12^{\circ}>\operatorname{Cos} 14^{\circ}>\operatorname{Cos} 43^{\circ}>\operatorname{Cos} 87^{\circ}$

=> Thứ tự đúng sẽ là: $\operatorname{Sin} 78^{\circ}>\operatorname{Cos} 14^{\circ}>\operatorname{Sin} 47^{\circ}>\operatorname{Cos} 87^{\circ}$

b, Ta có:

$\begin{aligned} & \operatorname{Cot} 25^{\circ}=\operatorname{Tan}\left(90^{\circ}-25^{\circ}\right)=\operatorname{Tan} 65^{\circ} \\ & \operatorname{Cot} 38^{\circ}=\operatorname{Tan}\left(90^{\circ}-38^{\circ}\right)=\operatorname{Tan} 52^{\circ}\end{aligned}$

=> Nếu α < β thì tanα < tanβ 

=>  $\operatorname{Tan} 73^{\circ}>\operatorname{Tan} 65^{\circ}>\operatorname{Tan} 62^{\circ}>\operatorname{Tan} 52^{\circ}$

=> Thứ tự đúng sẽ là: $\operatorname{Tan} 73^{\circ}>\operatorname{Cot} 25^{\circ}>\operatorname{Tan} 62^{\circ}>\operatorname{Cot} 38^{\circ}$

Như vậy, Admin không chỉ giúp các em củng cố kiến thức lý thuyết về tỉ số lượng giác trong chương trình toán lớp 9 mà còn đưa ra các dạng bài thường gặp kèm cách giải và ví dụ. Hy vọng bài viết hữu ích và giúp các em rèn luyện được kỹ năng làm bài hiệu quả.