Tổng hợp một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch lớp 7

Các em đang tìm kiếm một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch thường gặp trong chương trình toán 7? Bài viết này của Admin sẽ cùng các em ôn tập lại lý thuyết, đi vào phương pháp giải quyết các dạng bài tập, sau đó là một số bài tập vận dụng để các em hiểu hơn kiến thức và xây dựng kỹ năng làm bài. Cùng bắt đầu kiến thức ngày hôm nay thôi nào!

Tỉ lệ nghịch là đại lượng biểu thị cho mối tương quan giữa 2 đại lượng với nhau. Khi đó, ta đem tăng 1 đại lượng bất kỳ trong 2 đại lượng sẽ làm đại lại còn lại tăng thêm hoặc ngược lại khi giảm 1 đại lượng cũng khiến đại lượng còn lại giảm theo.

Đại lượng tỉ lệ nghịch là gì?

Hiểu một cách đơn giản thì:

Nếu đại lượng thứ nhất a thì đại lượng tỉ lệ nghịch với a là k/a (nghịch đảo của hệ số a) với hệ số k là một hằng số dương bất kỳ. Công thức tính đại lượng tỉ lệ nghịch như sau:

$y = \frac{k}{x}$

Hai đại lượng x và y sẽ tỉ lệ nghịch với nhau và liên hệ bằng công thức: $y = \frac{a}{x}$ hoặc $a=x . y$ (a ≠ 0). Khi đó ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỷ lệ là a.

Ví dụ: Nếu đại lượng $y = \frac{5}{x}$ , thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ là a.

Lưu ý: Nếu đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo một hệ số tỉ lệ a nào đó thì khi đó ta cũng có thể nói rằng: Đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ a.

Nếu 2 đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau, khi đó ta có tính chất sau:

Tích của 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng trên luôn không đổi: $x_1 \cdot y_1=x_2 \cdot y_2=x_3 \cdot y_3=a$
Tỉ số của 2 giá trị bất kỳ thuộc 2 đại lượng này cũng sẽ bằng nghịch đảo tỉ số 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng ban đầu: $x_1 / x_2=y_2 / y_1$ hoặc $x_1 / x_3=y_3 / y_1$

Trong quá trình học và làm bài tập, các em sẽ gặp một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch cơ bản với các dạng như sau:

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch lớp 7 thường gặp

Dạng 1: Cho trước tỉ lệ nghịch của 2 đại lượng yêu cầu tìm 2 đại lượng đó

Khi gặp dạng toán này, các em nên áp dụng cách giải sau: Dựa vào bảng giá trị để có thể nhận biết được chính xác 2 đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau không thông qua việc tính các tỉ số x.y trong bảng. Nếu giá trị của chúng cùng ra một kết quả giống nhau thì đại lượng x và đại lượng y sẽ tỉ lệ nghịch với nhau và ngược lại.

Ví dụ: Hãy xác định xem các đại lượng được cho dưới đây có tỉ lệ nghịch với nhau hay không? Nếu chúng có tỉ lệ nghịch thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

a, Một hình chữ nhật có độ dài 2 cạnh chiều dài là x, chiều rộng là x. Hình chữ nhật này có diện tích là a (với a là một hằng số cho trước).

b, Trên cùng một đoạn đường S có 2 đại lượng vận tốc là v và thời gian t.

c, Diện tích S và bán kính R của hình tròn.

d, Năng suất lao động là n và thời gian để thực hiện ra một sản phẩm là t và hoàn thành một công việc a.

Giải

a, Theo đề bài ta có công thức tính diện tích hình chữ nhật là x.y = a

=> x = $\frac{a}{y}$

Như vậy đại lượng x và đại lượng y tỉ lệ nghịch với nhau theo hằng số tỉ lệ là a.

b, Theo đề bài ta có công thức tính quãng đường đi được là: S = v.t

=> v = $\frac{S}{t}$

Như vậy, đại lượng vận tốc v và đại lượng thời gian t tỉ lệ nghịch với nhau theo hằng số tỉ lệ S.

c, Theo đề bài ta có công thức tính diện tích hình tròn là: $S=\pi \cdot R^2$

=> Diện tích hình tròn S không tỉ lệ nghịch với bán kính hình tròn R mà ngược lại tỉ lệ nghịch với $R^2$

d, Theo đề bài ta có: n.t = a (với a là một hằng số)

Như vậy, năng suất lao động n tỉ lệ nghịch với thời gian sản xuất t theo hằng số tỉ lệ a.

Dạng 2: Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn đại lượng x theo y, tìm x khi biết y hoặc tìm y khi biết x

Đối với dạng bài này, các em sẽ thực hiện giải bài tập theo phương pháp sau:

Ta có hệ số tỉ lệ nghịch $\mathrm{k}=\mathrm{x} . \mathrm{y}$, sau khi các em tính được hệ số tỉ lệ k sẽ thực hiện thay vào biểu thức $y = \frac{k}{x}$ hoặc $x = \frac{k}{y}$ để tìm ra mối quan hệ giữa đại lượng x và đại lượng y.
Sau khi các em biểu diễn xong mối quan hệ giữa đại lượng x và đại lượng y, ta sẽ dựa vào đó để tính toán ra y khi biết x hoặc người lại tính x khi biết x và điền vào các chỗ còn trống trong bài dữ liệu mà đề bài đưa ra.

Ví dụ: Các giá trị của đại lượng x và đại lượng y được cho trong bảng dưới đây có phải là đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau hay không?

x	-5	-4	-3	10	12
y	-12	-15	-20	6	5

x	-3	5	1	-5	-3
y	15	-9	-15	-15	-15

Giải

a, Công thức tính hệ số tỉ lệ là k = x.y

=> Bảng dữ liệu trên có hệ số tỉ lệ k = -5.-12 = -4.-15 = -3.-20 = 10.6 = 12.5 = 60

=> Bảng giá trị trên có các đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

b, Công thức tính hệ số tỉ lệ là k = x.y

=> Bảng dữ liệu trên có hệ số tỉ lệ k = -3.15 = 5.-9 ≠ 1.-15 ≠ -5.-15 ≠ -3.-15

=> Các đại lượng trong bảng giá trị này không tỉ lệ nghịch với nhau.

Dạng 3: Cho x và y là hai đại lượng là tỉ lệ nghịch với nhau. Hoàn thành bảng số liệu

Trong một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, các em cũng rất hay gặp dạng toán này với chương trình toán lớp 7. Phương pháp giải mà các nên áp dụng như sau:

Đầu tiên các em hãy tính hệ số tỉ lệ k và thực hiện việc biểu diễn đại lượng x theo đại lượng y hoặc ngược lại biểu diễn đại lượng y theo đại lượng x.
Tiếp đó các em sẽ thay các giá trị tương ứng vào để hoàn thành bằng số liệu.

Ví dụ: Hãy xác định về mối quan hệ tương quan giữa chiều dài x và chiều rộng y của các hình chữ nhật có cùng diện tích là $120 \mathrm{~cm}^2$. Hãy điền những giá trị tương ứng với đại lượng chiều dài x và đại lượng chiều rộng y vào bảng dữ liệu còn thiếu dưới đây:

x	3		5		8
y		4		6		24

Giải

Ta có công thức tính đại lượng tỉ lệ nghịch là k = x.y. Mà theo đề bài ta có k = 120

=>$x = \frac{120}{y}$ và $y = \frac{120}{x}$Bảng hoàn thành đáp án như sau:

x	3	30	5	20	8	5
y	40	4	24	6	15	24

Đại lượng tỉ lệ nghịch và đại lượng tỉ lệ thuận khiến rất nhiều em bị nhầm lẫn với nhau. Việc nhầm lẫn sẽ khiến tính toán, cũng như quá trình giải bài tập của các em sẽ sai. Vì vậy, Admin sẽ có bảng so sánh định nghĩa, tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận với đại lượng tỉ lệ nghịch như sau:

Hai đại lượng tỉ lệ thuận

Hai đại lượng tỉ lệ nghịch

Công thức

$y=k x(k>0)$

$y=k / x \Rightarrow k=x \cdot y(k>$

Tính chất

$x_0$ ứng với $y$ ]

$x_2$ ứng với $y_2$

$\Rightarrow y_1 / x_1=y_2 / x_2=\ldots= k$

$\Rightarrow x_1 / x_2=y_1 / y_2$

$\mathrm{x}_1$ ứng với $\mathrm{y}_1$

$x_2$ ứng với $y_2$

$\Rightarrow x_1 \cdot y_1=x_2 \cdot y_2=\ldots=a$

$\Rightarrow x_1 / x_2=y_1 / y_2$

Để giúp các em có kỹ năng làm bài tốt hơn, cùng Admin đi vào một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch có kèm đáp án dưới đây:

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch lớp 7 có đáp án

Bài 1: Một ô tô chạy từ điểm A đến điểm B hết 3 giờ đồng hồ. Một ô tô khác cũng chạy từ điểm A đến điểm B với vận tốc bằng 1,2 lần so với ô tô trước. Hỏi xe ô tô sau đi hết bao nhiêu giờ?

Giải

Vì trên cùng một quãng đường, vận tốc và thời gian sẽ là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Vì vậy, thời gian ô tô đi với vận tốc 1,2 lần ô tô ban đầu cùng đi quãng đường từ điểm A đến điểm B sẽ có thời gian là $\mathrm{t}_2$. Khi đó ta có:

$\mathrm{t}_2 / 3=1 / 1,2 \Rightarrow \mathrm{t}_2=2,5$ (giờ)

Vậy ô tô khác chạy hết quãng đường từ điểm A đến điểm B mất 2,5 giờ đồng hồ.

Bài 2: Một khu đất bị người ta chia thành 3 mảnh hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Biết được rằng chiều rộng của các mảnh đất hình chữ nhật sau khi chia lần lượt là 5m, 10m và 12m. Tổng 3 chiều dài của 2 mảnh hình chữ nhật là 138m. Hãy tính chiều dài của mỗi mảnh đất hình chữ nhật sau khi chia và tính diện tích khu đất đó.

Giải

Ta gọi chiều dài của các mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng lần lượt bằng 5m, 10m và 12m là x, y và z (với x, y, z > 0)

Theo đề bài ta có: $5 . x=10 . y=12 . z$ và $x+y+z=138(\mathrm{~m})$

$\Rightarrow x /(1 / 5)=y /(1 / 10)=z /(1 / 12)=(x+y+z) /(1 / 5+1 / 10+1 / 12)=360(\mathrm{~m})$

=> Chiều dài của các mảnh đất hình chữ nhật sau khi chia là:

$x=1 / 5.360=72(\mathrm{~m})$

$y=1 / 10.360=36(\mathrm{~m})$

$z=1 / 12.360=30(\mathrm{~m})$

Vậy chiều dài của các mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng 5m, 10m và 12m lần lượt là 72m, 36m và 30m.

Tổng diện tích của toàn bộ khu đất này sẽ là: 5.72 + 10.36 + 12.30 = 1080$\left(\mathrm{m}^2\right.$)

Bài 3: Cho đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y, hãy điền những giá trị còn thiếu vào bảng dữ liệu dưới đây:

x	3		12		48
y		16	8	4

Giải

Vì x và y là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, nên hệ số tỉ lệ sẽ bằng k = x.y.

Theo đề bài đại lượng x và y trong bảng dữ liệu trên tỉ lệ nghịch với nhau => k = 12.8 = 90

Bảng dữ liệu sẽ hoàn thành với kết quả như sau:

x	3	6	12	24	48
y	32	16	8	4	2

Bài 4: Cho 3 đại lượng x, y và z. Hãy xác định mối tương quan giữa 2 đại lượng x và y, biết rằng:

a, Đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo hệ số k, đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng z theo tỉ số l

b, Đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo hệ số k, đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng z theo tỉ số l

c, Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo tỉ số k, đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng z theo tỉ số l.

Giải

a, Đại lượng $x$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $y$ theo tỉ số k

$\Rightarrow x=k / y$

Đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng z theo tỉ số I

$\begin{aligned} & \Rightarrow y=1 / z \\ & \Rightarrow x=k / y=k /(l / z)=k / l . z\end{aligned}$

=> Đại lượng $x$ tỉ lệ thuận với đại lượng $z$ theo hệ số tỉ lệ k/l.

b, Đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng y theo tỉ số k

$\Rightarrow x=k / y$

Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng z theo tỉ số l

$\begin{aligned} & \Rightarrow y=z .1 \\ & \Rightarrow x=k / y=k /(z .l)\end{aligned}$

=> Đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng z theo hệ số k/l

c, Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo tỉ số k

$\Rightarrow x=k . y$

Đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng z theo tỉ số l

$\begin{aligned} & \Rightarrow y=l / z \\ & \Rightarrow x=k \cdot y=k .l / x\end{aligned}$

=> Đại lượng x tỉ lệ nghịch với đại lượng z theo hệ số tỉ lệ là k.l

Bài 5: Cho 2 đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau là x và y. Biết được rằng 2 giá trị của x là$x_1=5$ và $x_2=8$, 2 giá trị tương ứng của y là $\mathrm{y}_1$ và $\mathrm{y}_2$ với $y_1 \cdot y_2=160$. Hãy tính $\mathrm{y}_1, \mathrm{y}_2$ và hệ số tỉ lệ của chúng.

Giải

Vì đại lượng x và y là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau

$\begin{aligned} & \Rightarrow y_1 / y_2=x_1 / x_2=8 / 5 \\ & \Rightarrow y_1 / 8=y_2 / 5=k \\ & \Rightarrow y_1=8 . k \text { và } y_2=5 . k\end{aligned}$

Mà theo đề bài ta có: $y_1 \cdot y_2=160 \Leftrightarrow(8 \cdot k)(5 \cdot k)=160 \Leftrightarrow 40 \cdot k^2=160$

$\begin{aligned} & \Rightarrow y= \pm 2 \\ & \text { Nếu, } k=2 \Rightarrow y_1=16, y_2=10 \\ & \text { Nếu, } k=-2 \Rightarrow y_1=-16 \text { và } y_2=-10\end{aligned}$

Như vậy, toàn bộ kiến thức trong bài viết này được Admin chia sẻ không chỉ giúp các em nắm rõ được một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch trong toán lớp 7 mà còn giúp các em nắm được các dạng bài, cách giải cũng như có kỹ năng giải quyết bài tập. Hy vọng nó bổ ích và giúp các em giải quyết toán về tỉ lệ nghịch cực hiệu quả nhé!