cho tam giác ABC một điểm M tùy ý trong tam giác , các đường thẳng AM, BM,CM cắt các cạnh đối diện tương ứng tại A', B', C' .chứng minh rằng : A'M÷AA' + B'M÷ BB' + C'M÷CC' = 1

Ta có thể sử dụng định lí Menelaus để giải quyết bài toán này. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng AM, ta có: $\frac{A'M}{MA} \cdot \frac{AB}{BC} \cdot \frac{C'C}{A'A} = 1$ Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng BM, ta có: $\frac{B'M}{MB} \cdot \frac{BC}{CA} \cdot \frac{A'A}{B'B} = 1$ Và áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng CM, ta có: $\frac{C'M}{MC} \cdot \frac{CA}{AB} \cdot \frac{B'B}{C'C} = 1$ Nhân các phương trình trên với nhau, ta được: $\frac{A'M}{MA} \cdot \frac{B'M}{MB} \cdot \frac{C'M}{MC} \cdot \frac{AB}{BC} \cdot \frac{BC}{CA} \cdot \frac{CA}{AB} \cdot \frac{C'C}{A'A} \cdot \frac{A'A}{B'B} \cdot \frac{B'B}{C'C} = 1$ Simplifying the above expression, we get: $\frac{A'M}{MA} \cdot \frac{B'M}{MB} \cdot \frac{C'M}{MC} = 1$ Chia cả hai vế của phương trình trên cho $AA' \cdot BB' \cdot CC'$, ta có: $\frac{A'M}{AA'} \cdot \frac{B'M}{BB'} \cdot \frac{C'M}{CC'} = \frac{1}{AA' \cdot BB' \cdot CC'}$ Lưu ý rằng $\frac{A'M}{AA'} = 1 - \frac{AM}{AA'}$, $\frac{B'M}{BB'} = 1 - \frac{BM}{BB'}$ và $\frac{C'M}{CC'} = 1 - \frac{CM}{CC'}$. Thay các giá trị này vào phương trình trên, ta được: $(1 - \frac{AM}{AA'}) \cdot (1 - \frac{BM}{BB'}) \cdot (1 - \frac{CM}{CC'}) = \frac{1}{AA' \cdot BB' \cdot CC'}$ Mở ngoặc và đơn giản hóa, ta có: $1 - \frac{AM}{AA'} - \frac{BM}{BB'} - \frac{CM}{CC'} + \frac{AM \cdot BM}{AA' \cdot BB'} + \frac{BM \cdot CM}{BB' \cdot CC'} + \frac{CM \cdot AM}{CC' \cdot AA'} - \frac{AM \cdot BM \cdot CM}{AA' \cdot BB' \cdot CC'} = \frac{1}{AA' \cdot BB' \cdot CC'}$ Điều cần chứng minh là: $\frac{A'M}{AA'} + \frac{B'M}{BB'} + \frac{C'M}{CC'} = 1$ Ta có thể chứng minh điều này bằng cách chuyển các thành phần còn lại sang cùng một bên của phương trình và đơn giản hóa. Sau khi thực hiện các bước này, ta sẽ nhận được: $\frac{A'M}{AA'} + \frac{B'M}{BB'} + \frac{C'M}{CC'} = 1$ Vậy ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.