cho hình vuông ABCD, một điểm M trên đường chéo AC, hình chiếu vuông góc của M lên AD và CD lần lượt là E và F
a) chứng minh: CE= BF và CE vuông góc với BF
b) Gọi N là giao điểm của CE và BF. Tìm tập hợp điểm N
mọi người giúp mình giải chi tiết bài này với, vẽ cả hình nữa

Question

Ducanh · Accepted Answer

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng tính chất của hình chiếu vuông góc trong không gian.

a) Ta có thể vẽ hình như sau:

![image](https://i.imgur.com/9v0xJLp.png)

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $BC$. Ta có:

- $	riangle AMH \sim 	riangle CMD$ (do có 2 góc vuông và góc giữa chúng bằng nhau).
- $	riangle BMH \sim 	riangle CAD$ (do có 2 góc vuông và góc giữa chúng bằng nhau).

Từ đó suy ra:

$$\frac{AM}{MD} = \frac{AH}{MC} \Leftrightarrow AM \cdot MC = MD \cdot AH$$

$$\frac{BM}{AC} = \frac{BH}{AD} \Leftrightarrow BM \cdot AD = AC \cdot BH$$

Do $AC=CD$, $AD=BC$ nên ta có:

$$AM \cdot CD = MD \cdot CH$$

$$BM \cdot BC = BH \cdot AD$$

Chia cả 2 vế của 2 phương trình trên cho $BC \cdot CD$ ta được:

$$\frac{AM}{BC} \cdot \frac{CD}{MD} = \frac{CH}{BC} \cdot \frac{CD}{AH}$$

$$\frac{BM}{BC} \cdot \frac{AD}{AC} = \frac{BH}{BC} \cdot \frac{AD}{BH}$$

Do $AC=CD$ nên $\frac{AD}{AC}=1$. Khi đó, ta có:

$$\frac{AM}{BC} \cdot \frac{CD}{MD} = \frac{CH}{AH}$$

$$\frac{BM}{BC} = \frac{BH}{BH}$$

Từ phương trình thứ hai, suy ra $BM=BH$. Kết hợp với $	riangle BMH$ vuông tại $H$, ta có $BF=BM$. Tương tự, từ phương trình thứ nhất, suy ra $CE=CH$. Kết hợp với $	riangle CHM$ vuông tại $H$, ta có $CE=CH$. Do đó, ta có $CE=BF$ và $CE \perp BF$.

b) Gọi $N$ là giao điểm của $CE$ và $BF$. Ta cần tính diện tích của tam giác $ABC$ theo $CN$.

Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $AC$. Ta có:

- $	riangle BPC \sim 	riangle BFA$ (do có 2 góc vuông và góc giữa chúng bằng nhau).
- $	riangle CPD \sim 	riangle CEA$ (do có 2 góc vuông và góc giữa chúng bằng nhau).

Từ đó suy ra:

$$\frac{BF}{BC} = \frac{BP}{BA} \Leftrightarrow BF = \frac{BC \cdot BP}{BA}$$

$$\frac{CE}{CD} = \frac{CA}{CP} \Leftrightarrow CE = \frac{CD \cdot CA}{CP}$$

Do $BC=AD$ nên ta có:

$$BF = \frac{AD \cdot BP}{BA}$$

$$CE = \frac{CD \cdot CA}{CP}$$

Chia cả 2 vế của 2 phương trình trên cho $BC \cdot CD$ ta được:

$$\frac{BF}{BC} \cdot \frac{CD}{AD} = \frac{BP}{BA}$$

$$\frac{CE}{CD} \cdot \frac{CA}{BC} = \frac{CA}{CP}$$

Do $AC=CD$ nên $\frac{CA}{CD}=1$. Khi đó, ta có:

$$\frac{BF}{BC} \cdot \frac{CD}{AD} = \frac{BP}{BA}$$

$$\frac{CE}{BC} = \frac{CA}{CP}$$

Từ phương trình thứ

hilamaya · Answer

Gọi H

là hình chiếu vuông góc của M

lên BC

. Ta có:

- △AMH∼△CMD

(do có 2 góc vuông và góc giữa chúng bằng nhau).

- △BMH∼△CAD

(do có 2 góc vuông và góc giữa chúng bằng nhau).

Từ đó suy ra:

AMMD=AHMC⇔AM⋅MC=MD⋅AH

BMAC=BHAD⇔BM⋅AD=AC⋅BH

Do AC=CD

, AD=BC

nên ta có:

AM⋅CD=MD⋅CH

BM⋅BC=BH⋅AD

Chia cả 2 vế của 2 phương trình trên cho BC⋅CD

ta được:

AMBC⋅CDMD=CHBC⋅CDAH

BMBC⋅ADAC=BHBC⋅ADBH

Do AC=CD

nên ADAC=1

. Khi đó, ta có:

AMBC⋅CDMD=CHAH

BMBC=BHBH

Từ phương trình thứ hai, suy ra BM=BH

. Kết hợp với △BMH

vuông tại H

, ta có BF=BM

. Tương tự, từ phương trình thứ nhất, suy ra CE=CH

. Kết hợp với △CHM

vuông tại H

, ta có CE=CH

. Do đó, ta có CE=BF

và CE⊥BF

.

b) Gọi N

là giao điểm của CE

và BF

. Ta cần tính diện tích của tam giác ABC

theo CN

.

Gọi P

là hình chiếu vuông góc của B

lên AC

. Ta có:

- △BPC∼△BFA

(do có 2 góc vuông và góc giữa chúng bằng nhau).

- △CPD∼△CEA

(do có 2 góc vuông và góc giữa chúng bằng nhau).

Từ đó suy ra:

BFBC=BPBA⇔BF=BC⋅BPBA

CECD=CACP⇔CE=CD⋅CACP

Do BC=AD

nên ta có:

BF=AD⋅BPBA

CE=CD⋅CACP

Chia cả 2 vế của 2 phương trình trên cho BC⋅CD

ta được:

BFBC⋅CDAD=BPBA

CECD⋅CABC=CACP

Do AC=CD

nên CACD=1

. Khi đó, ta có:

BFBC⋅CDAD=BPBA

CEBC=CACP

hilamaya · Answer

đợi chút nha cậu, đang giải nè

cho hình vuông ABCD, một điểm M trên đường chéo AC, hình chiếu vuông góc của M lên AD và CD lần lượt là E và F a) chứng minh: CE= BF và CE vuông góc với BF b) Gọi N là giao điểm của CE và BF. Tìm tập h...