cứuusu Tính tổng với   n\in N,n\geq2;,S=1.2.C_{n}^{2}+2.3.C_{n}^{3}+...+(n-2).(n-1).C_{n}^{n-1}+(n-1).n.C_{n}^{n},A.~(n-1).(n-2).2^{n-2}.   B.~n(n-1).2^{n-2}.   C.~n(n-1).2^{n-1}.   D.~(n-1).(n-2).2^{n}.

Question

cứuusu Tính tổng với &nbsp; n\in N,n\geq2;,S=1.2.C_{n}^{2}+2.3.C_{n}^{3}+...+(n-2).(n-1).C_{n}^{n-1}+(n-1).n.C_{n}^{n},A.~(n-1).(n-2).2^{n-2}. &nbsp; B.~n(n-1).2^{n-2}. &nbsp; C.~n(n-1).2^{n-1}. &nbsp; D.~(n-1).(n-2).2^{n}.

GumihoHong97 · Accepted Answer

nè cậu⊥

Timi · Answer

Ta có công thức tổng quát:
$$\sum_{k=2}^{n}(k-1)k\binom{n}{k}=n(n-1)2^{n-2}$$
Để chứng minh công thức này, ta sử dụng quy tắc nhân và công thức Newton:
$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$$
Thay $x=1$ vào công thức trên, ta được:
$$(1+1)^n=2^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$$
Áp dụng đạo hàm theo $x$ hai vế của công thức trên, ta được:
$$n2^{n-1}=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}$$
Nhân cả hai vế của công thức trên với $n-1$, ta được:
$$n(n-1)2^{n-2}=\sum_{k=0}^{n}(k-1)k\binom{n}{k}$$
Do đó, ta có:
\begin{align*}
S&=\sum_{k=2}^{n}(k-1)k\binom{n}{k}\
&=\sum_{k=2}^{n-1}(k-1)k\binom{n}{k}+(n-1)n\binom{n}{n}\
&=\sum_{k=2}^{n-1}(k-1)k\binom{n}{k}+n^2\
&=n(n-1)2^{n-2}+n^2\
&=n(n-1)2^{n-2}(n-2)+n(n-1)2^{n-2}\
&=(n-1)(n-2)2^{n-2}+n(n-1)2^{n-2}\
&=n(n-1)2^{n-2}
\end{align*}
Vậy đáp án là $\boxed{	extbf{(B) }n(n-1)2^{n-2}}$.