Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), hai đường cao BD và CE của tam,giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ DK vuông góc với AB (K thuộc AB), gọi là,trung điểm của ED, tia BF cắt (O) tại I (khác B),a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp,b) Chứng minh rằng BK.B   \square:x,c) Chứng minh rằng, hai đường thẳng AH và ID cắt nhau tại một điểm,nằm trên (O).

Question

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), hai đường cao BD và CE của tam,giác ABC cắt nhau tại H. Vẽ DK vuông góc với AB (K thuộc AB), gọi  là,trung điểm của ED, tia BF cắt (O) tại I (khác B),a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp,b) Chứng minh rằng BK.B &nbsp; \square:x,c) Chứng minh rằng, hai đường thẳng AH và ID cắt nhau tại một điểm,nằm trên (O).

Accepted Answer

a) Ta có $\angle BDC = \angle BEC = 90^\circ$, suy ra $BEDC$ là tứ giác nội tiếp.
 
b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, ta có $BK \cdot BM = \frac{1}{2} BK \cdot BC = \frac{1}{2} BD \cdot BE = BD \cdot DH$, do $BDHE$ là tứ giác nội tiếp. Tương tự, ta cũng có $CK \cdot CM = CE \cdot EH$.

Mặt khác, ta có $\frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC}$ (do hai tam giác $ABC$ và $BDE$ đồng dạng), suy ra $\frac{BD}{BE} = \frac{CE}{EC}$. Kết hợp với hai công thức trên, ta được:

$$\frac{BK}{CK} = \frac{BD \cdot DH}{CE \cdot EH} = \frac{BM}{CM}$$

Do đó, theo định lí Menelaus, ta có $IK \parallel BC$, suy ra $BK \cdot CI = CK \cdot BI$. Như vậy, $BK \cdot BI = BK \cdot BF$, suy ra $KI \parallel CF$. Do đó, $\angle BIK = \angle BCF = \angle BAF$, suy ra $BK.BA=BI.BF$.

c) Gọi $G$ là giao điểm của $AH$ và $ID$. Ta cần chứng minh $G$ nằm trên đường tròn $(O)$.

Ta có $\angle GHB = \angle AHB - \angle AHG = 90^\circ - \angle DIG = \angle ICB$, suy ra $HBIC$ là tứ giác nội tiếp. Do đó, $GI \cdot GD = GB \cdot GC$, suy ra $G$ nằm trên đường tròn $(O)$.