Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để giải bài toán này, ta sử dụng tính chất của đạo hàm và tích phân như sau:
$x f^{\prime}(x)=x^{2}e^{x}=f(x)$
Đạo hàm cả hai vế ta được:
$f^{\prime}(x)+x f^{\prime\prime}(x)=x e^{x}+2 x e^{x}=e^{x}(x+2)$
Tiếp theo, ta tính đạo hàm của $xf(x)$:
$(x f(x))^{\prime}=f(x)+x f^{\prime}(x)=x^{2}e^{x}+x^{2}e^{x}=2x^{2}e^{x}$
Do đó,
$\int_{1}^{2}f(x)d x=\int_{1}^{2}\frac{x f^{\prime}(x)}{x}d x=\left[x f(x)\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}f(x)d x$
Từ đó suy ra:
$\int_{1}^{2}f(x)d x=\frac{1}{2}\left[2 x f(x)-\int_{1}^{2}x f^{\prime}(x)d x\right]=\frac{1}{2}\left[2 x f(x)-\left[x f(x)\right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}f(x)d x\right]$
Thay $f(x)=x f^{\prime}(x)$ vào công thức trên, ta có:
$\int_{1}^{2}f(x)d x=\frac{1}{2}\left[2 x f(x)-\left[x^{2}f^{\prime}(x)\right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}x f^{\prime}(x)d x\right]=\frac{1}{2}\left[2 x f(x)-2+\int_{1}^{2}x f^{\prime}(x)d x\right]$
Từ $x f^{\prime}(x)=x^{2}e^{x}$, ta tính được:
$\int_{1}^{2}x f^{\prime}(x)d x=\left[x^{2}e^{x}\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}2 x e^{x}d x=4 e^{2}-5 e$
Vậy,
$\int_{1}^{2}f(x)d x=\frac{1}{2}\left[4 e^{2}-5 e+2(2 f(2)-2 f(1))\right]=\frac{1}{2}\left[4 e^{2}-5 e+2(4-12)\right]=-3 e^{2}+2$
Vậy đáp án là $\boxed{\textbf{(D) } L=3a^{2}-2a}$.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.