Chứng minh: x+y+x≥3.∛xyz

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM: $\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$ Áp dụng bất đẳng thức này cho ba số $x$, $y$ và $x+y+z$, ta có: $\frac{x+y+(x+y+z)}{3} \geq \sqrt[3]{x \cdot y \cdot (x+y+z)}$ Simplify: $\frac{2x+2y+z}{3} \geq \sqrt[3]{x \cdot y \cdot (x+y+z)}$ Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $3$: $2x+2y+z \geq 3\sqrt[3]{x \cdot y \cdot (x+y+z)}$ Ta thấy rằng $x+y+x = 2x+2y$, nên ta có: $2x+2y+z \geq 3\sqrt[3]{x \cdot y \cdot (2x+2y+z)}$ Điều này có nghĩa là: $2x+2y+x+y+z \geq 3\sqrt[3]{x \cdot y \cdot (x+y+z)}$ Hay: $3(x+y+z) \geq 3\sqrt[3]{x \cdot y \cdot (x+y+z)}$ Chia cả hai vế cho $3$: $x+y+z \geq \sqrt[3]{x \cdot y \cdot (x+y+z)}$ Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức: $x+y+z \geq \sqrt[3]{x \cdot y \cdot (x+y+z)}$ Từ đó suy ra: $x+y+x \geq 3\sqrt[3]{xyz}$ Hay: $2x+2y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}$ Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.