Chứng minh với mọi n là số nguyên thì giá trị ủa biểu thức A= n ( n²-6) ( n²+6) luôn chia hết cho 5

Để chứng minh rằng A luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n, ta cần chứng minh rằng n (n² - 6) (n² + 6) chia hết cho 5. Ta biểu diễn n dưới dạng n = 5k hoặc n = 5k ± 1 hoặc n = 5k ± 2 hoặc n = 5k ± 3 hoặc n = 5k ± 4 với k là một số nguyên bất kỳ. Nếu n = 5k, ta có: A = n(n² - 6)(n² + 6) = 5k(25k² - 6)(25k² + 6) Vì 5 là một thừa số của 5k, nên A chia hết cho 5. Nếu n = 5k ± 1, ta có: A = n(n² - 6)(n² + 6) = (5k ± 1)(25k² - 25 ± 6)(25k² + 25 ± 6) Vì 25 là một thừa số của 25k², nên A chia hết cho 25. Ngoài ra, ta có: 25k² - 25 ± 6 = 25(k² - 1) ± 6 25k² + 25 ± 6 = 25(k² + 1) ± 6 Do đó, A chia hết cho 5. Tương tự, ta có thể chứng minh rằng A chia hết cho 5 với các trường hợp còn lại của n. Vậy, ta đã chứng minh được rằng A luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.