Trong không gian Oxyz, gọi I là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A(1,-3,-2) B(4,-3,1) C(1,0,1) D(-3,2,3). Độ dài đoạn thẳng OI bằng

Để tính độ dài đoạn thẳng OI, ta cần tìm tọa độ của điểm O và sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Tọa độ của điểm O là (0, 0, 0) vì đó là gốc tọa độ. Để tìm bán kính của mặt cầu, ta sử dụng công thức sau: $R = \frac{ABC}{4V}$ Trong đó, ABC là diện tích tam giác ABC, V là thể tích tam giác ABC. Ta có thể tính diện tích và thể tích tam giác ABC bằng công thức sau: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ -3+3 \\ 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 0+3 \\ 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-9 \\ -3-0 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ $ABC = \frac{1}{2} ||\vec{AB} \times \vec{AC}|| = \frac{1}{2} \sqrt{(-9)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$ $\vec{AD} = \begin{pmatrix} -3-1 \\ 2+3 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ $V = \frac{1}{6} |\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| = \frac{1}{6} | \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -9 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} | = \frac{9\sqrt{10}}{2}$ Do đó, bán kính của mặt cầu là: $R = \frac{ABC}{4V} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{2}{9\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$ Ta có thể tính tọa độ của điểm I bằng cách giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} (x-1)^2 + (y+3)^2 + (z+2)^2 = \frac{1}{9} \\ (x-4)^2 + (y+3)^2 + (z-1)^2 = \frac{1}{9} \\ (x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = \frac{1}{9} \\ (x+3)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = \frac{1}{9} \end{cases}$ Sau khi giải hệ phương trình, ta được tọa độ của điểm I là: $I(\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$ Cuối cùng, ta tính độ dài đoạn thẳng OI bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: $d(O,I) = \sqrt{(0-\frac{5}{3})^2 + (0+\frac{1}{3})^2 + (0-\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$ Vậy độ dài đoạn thẳng OI là $\frac{5\sqrt{2}}{3}$.