cho tam giác ABC nhọn , AH là dường cao. Vẽ HD vuông AB tại D , HE vuông AC tại E. CMR : a,AD.AB=AE.AC b,AD/BD=AH bình/BH bình

Question

cho tam giác ABC nhọn , AH là dường cao. Vẽ HD vuông AB tại D , HE vuông AC tại E. CMR :      a,AD.AB=AE.AC                         b,AD/BD=AH bình/BH bình

jinh · Accepted Answer

Timi · Answer

a) Ta có:
$\frac{AD}{AB}=\sin{\angle ADB}$
$\frac{AE}{AC}=\sin{\angle AEC}$
Vì $\angle ADB+\angle AEC=90^{\circ}$ nên $\sin{\angle ADB}=\cos{\angle AEC}$
Do đó, ta có:
$$\frac{AD}{AB}=\cos{\angle AEC}=\frac{AH}{AC}$$
$$\frac{AE}{AC}=\sin{\angle AEC}=\frac{HD}{AB}$$
Nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với $\frac{AB}{AH}$, phương trình thứ hai với $\frac{AC}{AH}$, ta được:
$$\frac{AD}{AH}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{HD}{AB}=\frac{HD}{AC}$$
Do đó, ta có:
$$AD\cdot AB=AH\cdot HD=AE\cdot AC$$
b) Ta có:
$$\frac{AD}{BD}=\frac{AD}{AB-AD}=\frac{AD}{AH\cdot \frac{AC}{AH}-AD}=\frac{AD}{AH-\frac{AD\cdot AC}{AH}}=\frac{AD\cdot AH}{AH^2-AD\cdot AC}$$
Tương tự, ta có:
$$\frac{BH}{AH}=\frac{AB}{AH}-1=\frac{AC}{AH}\cdot \frac{AB}{AC}-1=\frac{AC\cdot HD}{AH\cdot AD}-1=\frac{HD}{AD}-\frac{AC}{AH}$$
Do đó,
$$\frac{AD}{BD}\cdot \frac{BH}{AH}=\frac{AD\cdot AH}{AH^2-AD\cdot AC}\cdot \left(\frac{HD}{AD}-\frac{AC}{AH}\right)=\frac{HD\cdot AH}{AH^2-AD\cdot AC}-\frac{AC\cdot AD}{AH^2-AD\cdot AC}$$
Ta có:
$$\frac{HD\cdot AH}{AH^2-AD\cdot AC}=\frac{AH^2-HD^2}{AH^2-AC^2}=\frac{BH^2}{AB^2}$$
Và:
$$\frac{AC\cdot AD}{AH^2-AD\cdot AC}=\frac{AC\cdot AD}{AD\cdot HD}=\frac{AC}{HD}=\frac{AC}{AB}\cdot \frac{AB}{HD}=\frac{\sin{\angle ABC}}{\sin{\angle ADB}}=\frac{\sin{\angle ABC}}{\cos{\angle AEC}}=\frac{\sin{\angle ABC}}{\sin{\angle AEB}}$$
Do đó,
$$\frac{AD}{BD}\cdot \frac{BH}{AH}=\frac{BH^2}{AB^2}-\frac{\sin{\angle ABC}}{\sin{\angle AEB}}=\frac{BH^2-\sin^2{\angle ABC}\cdot BD^2}{AB^2\cdot \sin{\angle AEB}}$$
Vì $\angle AHB=90^{\circ}$ nên $BH^2=AH\cdot HD$. Thay vào trên, ta được:
$$\frac{AD}{BD}\cdot \frac{BH}{AH}=\frac{HD}{AB^2\cdot \sin{\angle AEB}}-\frac{\sin^2{\angle ABC}\cdot BD^2}{AB^2\cdot \sin{\angle AEB}}=\frac{HD-\sin^2{\angle ABC}\cdot BD^2}{AB^2\cdot \sin{\angle AEB}}$$
Nhân cả 2 vế của phương trình (a) với $\frac{1}{AH^2}$, ta được:
$$\frac{AD\cdot AB}{AH^2}=\frac{AE\cdot AC}{AH^2}=\frac{\sin{\angle ABC}}{2}$$
Do đó,
$$\frac{BD^2}{AH^2}=\frac{AB^2-AH^2}{AH^2}=\frac{\sin^2{\angle ABC}}{2-\sin^2{\angle ABC}}$$
Vậy,
$$\frac{AD}{BD}\cdot \frac{BH}{AH}=\frac{HD-\sin^2{\angle ABC}\cdot BD^2}{AB^2\cdot \sin{\angle AEB}}=\frac{2\sin{\angle ABC}-