Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
a) Ta có:
$\frac{AD}{AB}=\sin{\angle ADB}$
$\frac{AE}{AC}=\sin{\angle AEC}$
Vì $\angle ADB+\angle AEC=90^{\circ}$ nên $\sin{\angle ADB}=\cos{\angle AEC}$
Do đó, ta có:
$\frac{AD}{AB}=\cos{\angle AEC}=\frac{AH}{AC}$
$\frac{AE}{AC}=\sin{\angle AEC}=\frac{HD}{AB}$
Nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với $\frac{AB}{AH}$, phương trình thứ hai với $\frac{AC}{AH}$, ta được:
$\frac{AD}{AH}=\frac{AB}{AC}\cdot \frac{HD}{AB}=\frac{HD}{AC}$
Do đó, ta có:
$AD\cdot AB=AH\cdot HD=AE\cdot AC$
b) Ta có:
$\frac{AD}{BD}=\frac{AD}{AB-AD}=\frac{AD}{AH\cdot \frac{AC}{AH}-AD}=\frac{AD}{AH-\frac{AD\cdot AC}{AH}}=\frac{AD\cdot AH}{AH^2-AD\cdot AC}$
Tương tự, ta có:
$\frac{BH}{AH}=\frac{AB}{AH}-1=\frac{AC}{AH}\cdot \frac{AB}{AC}-1=\frac{AC\cdot HD}{AH\cdot AD}-1=\frac{HD}{AD}-\frac{AC}{AH}$
Do đó,
$\frac{AD}{BD}\cdot \frac{BH}{AH}=\frac{AD\cdot AH}{AH^2-AD\cdot AC}\cdot \left(\frac{HD}{AD}-\frac{AC}{AH}\right)=\frac{HD\cdot AH}{AH^2-AD\cdot AC}-\frac{AC\cdot AD}{AH^2-AD\cdot AC}$
Ta có:
$\frac{HD\cdot AH}{AH^2-AD\cdot AC}=\frac{AH^2-HD^2}{AH^2-AC^2}=\frac{BH^2}{AB^2}$
Và:
$\frac{AC\cdot AD}{AH^2-AD\cdot AC}=\frac{AC\cdot AD}{AD\cdot HD}=\frac{AC}{HD}=\frac{AC}{AB}\cdot \frac{AB}{HD}=\frac{\sin{\angle ABC}}{\sin{\angle ADB}}=\frac{\sin{\angle ABC}}{\cos{\angle AEC}}=\frac{\sin{\angle ABC}}{\sin{\angle AEB}}$
Do đó,
$\frac{AD}{BD}\cdot \frac{BH}{AH}=\frac{BH^2}{AB^2}-\frac{\sin{\angle ABC}}{\sin{\angle AEB}}=\frac{BH^2-\sin^2{\angle ABC}\cdot BD^2}{AB^2\cdot \sin{\angle AEB}}$
Vì $\angle AHB=90^{\circ}$ nên $BH^2=AH\cdot HD$. Thay vào trên, ta được:
$\frac{AD}{BD}\cdot \frac{BH}{AH}=\frac{HD}{AB^2\cdot \sin{\angle AEB}}-\frac{\sin^2{\angle ABC}\cdot BD^2}{AB^2\cdot \sin{\angle AEB}}=\frac{HD-\sin^2{\angle ABC}\cdot BD^2}{AB^2\cdot \sin{\angle AEB}}$
Nhân cả 2 vế của phương trình (a) với $\frac{1}{AH^2}$, ta được:
$\frac{AD\cdot AB}{AH^2}=\frac{AE\cdot AC}{AH^2}=\frac{\sin{\angle ABC}}{2}$
Do đó,
$\frac{BD^2}{AH^2}=\frac{AB^2-AH^2}{AH^2}=\frac{\sin^2{\angle ABC}}{2-\sin^2{\angle ABC}}$
Vậy,
$\frac{AD}{BD}\cdot \frac{BH}{AH}=\frac{HD-\sin^2{\angle ABC}\cdot BD^2}{AB^2\cdot \sin{\angle AEB}}=\frac{2\sin{\angle ABC}-
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.