Cho ABC vuông tại A, có AB = 12 cm ; AC = 16 cm. Kẻ đường cao AH, H∈BC). a) Chứng minh: HBA ഗABC b) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH. c) Trong ABC kẻ phân giác AD (D∈ BC). Trong ADB kẻ phân giác DE...

a) Ta có $\angle BAH = \angle CAH = 90^{\circ}$, nên $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$. Do đó, $HB \perp AC$ và $AB \perp HC$. Từ đó suy ra $HB \parallel AB$ và $ABCH$ là tứ giác có hai cặp cạnh song song. Vậy $HBA ഗABC$. b) Ta có $AB^2 + AC^2 = 12^2 + 16^2 = 400 = BC^2 + AH^2$. Do đó, $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - AH^2} = \sqrt{400 - 8^2} = \sqrt{144} = 12$ (cm). Ta có $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ (cm$^2$). Mà $S_{ABC} = \frac{1}{2} AH \cdot BC$, nên $AH = \frac{2S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 96}{12} = 16$ (cm). c) Ta có $AD$ là phân giác trong của tam giác $ABC$, nên $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$. Mà $BD + DC = BC = 12$, nên $BD = \frac{3}{7} \cdot 12 \approx 5.14$ (cm) và $DC = \frac{4}{7} \cdot 12 \approx 6.86$ (cm). Ta có $DE$ là phân giác trong của tam giác $ABD$, nên $\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DB} = \frac{7}{3}$. Mà $AE + EB = AB = 12$, nên $AE = \frac{7}{10} \cdot 12 = 8.4$ (cm) và $EB = \frac{3}{10} \cdot 12 = 3.6$ (cm). Tương tự, ta có $DF$ là phân giác trong của tam giác $ACD$, nên $\frac{AF}{FC} = \frac{AD}{DC} = \frac{7}{4}$. Mà $AF + FC = AC = 16$, nên $AF = \frac{7}{11} \cdot 16 \approx 10.91$ (cm) và $FC = \frac{4}{11} \cdot 16 \approx 5.82$ (cm).