Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BF, CE cắt nhau tại H. Tia AH cắt BC tại D. a) Chứng minh: △AEC và △AFB đồng dạng b) Chứng minh AE.AB = AF.AC rồi từ đó suy ra △AEF đồng dạng với △ACB c)...

a) Ta có: $\angle AEC = \angle AEB + \angle BEC = \angle AFB + \angle BFC = \angle AFC$ Và: $\angle EAC = \angle BAH = \angle FAD = \angle FAB$ Do đó, theo góc chung ta có: $\triangle AAEC \sim \triangle AAFB$ b) Áp dụng định lí phân giác trong tam giác ABC, ta có: $\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \text{ và } \frac{AF}{FB} = \frac{AC}{BC}$ Nhân hai vế của cả hai phương trình lại với nhau, ta được: $\frac{AE}{EC} \cdot \frac{AF}{FB} = \frac{AB}{BC} \cdot \frac{AC}{BC}$ Hay: $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$ Do đó, theo góc chung ta có: $\triangle AAEF \sim \triangle AACB$ c) Ta có: $\angle ABD = \angle ACD \text{ (do AB//CD)}$ Và: $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ - \angle BAC$ Tương tự, ta có: $\angle ABF = \angle ACF \text{ (do AB//CF)}$ Và: $\angle AFB = \angle AFC = 90^\circ - \angle BAC$ Do đó, theo góc chung ta có: $\triangle ABDH \sim \triangle ABFC$ Từ đó, ta có: $\frac{BH}{BD} = \frac{BF}{BA} \text{ và } \frac{CH}{CD} = \frac{CF}{CA}$ Nhân hai vế của cả hai phương trình lại với nhau, ta được: $\frac{BH}{BD} \cdot \frac{CH}{CD} = \frac{BF}{BA} \cdot \frac{CF}{CA}$ Hay: $\frac{BH}{BF} + \frac{CH}{CF} = 1$ Từ đó, ta có: $BH.BF + CH.CE = BF.CF$ Do $\triangle AAEC \sim \triangle AAFB$, ta có: $\frac{CE}{EC+BF} = \frac{AB}{AB+AC} \text{ và } \frac{BF}{EC+BF} = \frac{AC}{AB+AC}$ Nhân hai vế của cả hai phương trình lại với nhau, ta được: $\frac{CE}{EC+BF} \cdot \frac{BF}{EC+BF} = \frac{AB}{AB+AC} \cdot \frac{AC}{AB+AC}$ Hay: $\frac{CE.BF}{(EC+BF)^2} = \frac{AB.AC}{(AB+AC)^2}$ Từ đó, ta có: $\frac{CE.BF}{BC^2} = \frac{AB.AC}{(AB+AC)^2}$ Do đó, ta có: $\frac{CE}{BC} \cdot \frac{BF}{BC} = \frac{AB}{AB+AC} \cdot \frac{AC}{AB+AC}$ Hay: $\frac{CE}{BC} = \frac{AB}{AB+AC} \text{ và } \frac{BF}{BC} = \frac{AC}{AB+AC}$ Từ đó, ta có: $CE = \frac{AB.BC}{AB+AC} \text{ và } BF = \frac{AC.BC}{AB+AC}$ Do đó: $BH.BF + CH.CE = BC \cdot \frac{AB.AC}{(AB+AC)^2} \cdot (AB+AC) = BC \cdot \frac{AB.AC}{AB+AC} = BF.CF$ Vậy ta đã chứng minh được $ABDH \sim ABFC$ và $BH.BF + CH.CE = BC$ d) Ta có: $\frac{DM}{AB} = \frac{DN}{AC}$ Do đó: $\frac{DM}{AB} = \frac{DN}{AC} = \frac{DM