Cho đường tròn(O,R)và dây BC sao cho góc BOc=120 độ,A là điểm trên cung lớn BC sao co góc AOB=90 độ.Gọi AD là đường cao của tam giác ABC.KẺ đường kính AK của đường tròn O. 1,Chứng minh tứ giác AODB nột...

1. Ta có $\angle AOB = 90^\circ$, suy ra $OA \perp AB$. Mà $AD$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $AD \perp BC$. Vậy $OA \parallel AD$. Khi đó, ta có $\angle AOD = \angle AOB = 90^\circ$, suy ra tứ giác $AODB$ nội tiếp. Gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và $OK$. Ta có $\angle AKO = \angle AKB + \angle BKO = \angle AOB + \angle BKO = 90^\circ + \angle BKO$. Nhưng $\angle BKO = \angle OKB = \angle OCB = 60^\circ$, nên $\angle AKO = 150^\circ$. Do đó, $\angle AKB = 30^\circ$ và $\angle ADB = \angle AKB = 30^\circ$. Gọi $E$ là giao điểm của $BC$ và $AD$. Ta có $\angle AEB = 90^\circ$ (do $AD \perp BC$) và $\angle ABE = \angle AKB = 30^\circ$. Suy ra tam giác $ABE$ vuông tại $E$ và có $\angle AEB = 90^\circ$, nên $AE = AB \cdot \sin \angle AEB = 2R \cdot \sin 30^\circ = R$. 2. Ta có $BE \perp AC$ và $AD \perp BC$, nên $BE \parallel AD$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và đường tròn $(O)$. Ta có $\angle AHB = 90^\circ$ (do $BE \perp AH$) và $\angle AOB = 90^\circ$, nên $A, H, O, B$ đồng tọa. Gọi $N$ là giao điểm của $BE$ và đường tròn $(O)$ (khác $H$). Ta có $\angle ANB = \angle AOB = 90^\circ$, suy ra $ANOB$ là tứ giác nội tiếp. Do đó, $AH \cdot HB = OH \cdot HB = NH \cdot HE$, suy ra $\dfrac{AH}{HE} = \dfrac{NH}{HB}$. Mà $AE = R$ và $AH = AE + EH = R + EH$, nên $\dfrac{R+EH}{EH} = \dfrac{NH}{HB}$. Tương đương với $\dfrac{EH}{NH} = \dfrac{HB}{R+EH}$. Ta có $HB = R \cdot \cos \angle AHB = R \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{R}{2}$ và $EH = AB - AH = 2R - (R+EH) = R-EH$. Thay vào biểu thức trên, ta được $\dfrac{R-EH}{NH} = \dfrac{\frac{R}{2}}{R+EH}$. Tương đương với $2(R-EH)(R+EH) = NH \cdot R$. Mở ngoặc và đưa các thành phần chứa $EH$ về cùng một vế, ta được $4R^2 - NH \cdot R = 3EH^2$. Mà $NH = OH = R \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{R}{2}$, nên $4R^2 - \dfrac{R^2}{2} = 3EH^2$. Tương đương với $EH^2 = \dfrac{7R^2}{24}$. Do đó, $AE = R$ và $EH^2 = \dfrac{7R^2}{24}$, suy ra $BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 \cdot AB \cdot AE \cdot \cos \angle BAE = (2R)^2 + R^2 - 2 \cdot 2R \cdot R \cdot \cos 30^\circ = 7R^2$. Cuối cùng, ta có $AC = AE + EC = R + BE \cdot \sin \angle AEB = R + 7R \cdot \sin 30^\circ = \