Cho đường tròn(O,R)và dây BC sao cho góc BOc=120 độ,A là điểm trên cung lớn BC sao co góc AOB=90 độ.Gọi AD là đường cao của tam giác ABC.KẺ đường kính AK của đường tròn O.
1,Chứng minh tứ giác AODB nột...
Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
1. Ta có $\angle AOB = 90^\circ$, suy ra $OA \perp AB$. Mà $AD$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $AD \perp BC$. Vậy $OA \parallel AD$. Khi đó, ta có $\angle AOD = \angle AOB = 90^\circ$, suy ra tứ giác $AODB$ nội tiếp.
Gọi $K$ là giao điểm của $AD$ và $OK$. Ta có $\angle AKO = \angle AKB + \angle BKO = \angle AOB + \angle BKO = 90^\circ + \angle BKO$. Nhưng $\angle BKO = \angle OKB = \angle OCB = 60^\circ$, nên $\angle AKO = 150^\circ$.
Do đó, $\angle AKB = 30^\circ$ và $\angle ADB = \angle AKB = 30^\circ$.
Gọi $E$ là giao điểm của $BC$ và $AD$. Ta có $\angle AEB = 90^\circ$ (do $AD \perp BC$) và $\angle ABE = \angle AKB = 30^\circ$. Suy ra tam giác $ABE$ vuông tại $E$ và có $\angle AEB = 90^\circ$, nên $AE = AB \cdot \sin \angle AEB = 2R \cdot \sin 30^\circ = R$.
2. Ta có $BE \perp AC$ và $AD \perp BC$, nên $BE \parallel AD$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và đường tròn $(O)$. Ta có $\angle AHB = 90^\circ$ (do $BE \perp AH$) và $\angle AOB = 90^\circ$, nên $A, H, O, B$ đồng tọa.
Gọi $N$ là giao điểm của $BE$ và đường tròn $(O)$ (khác $H$). Ta có $\angle ANB = \angle AOB = 90^\circ$, suy ra $ANOB$ là tứ giác nội tiếp.
Do đó, $AH \cdot HB = OH \cdot HB = NH \cdot HE$, suy ra $\dfrac{AH}{HE} = \dfrac{NH}{HB}$.
Mà $AE = R$ và $AH = AE + EH = R + EH$, nên $\dfrac{R+EH}{EH} = \dfrac{NH}{HB}$. Tương đương với $\dfrac{EH}{NH} = \dfrac{HB}{R+EH}$.
Ta có $HB = R \cdot \cos \angle AHB = R \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{R}{2}$ và $EH = AB - AH = 2R - (R+EH) = R-EH$.
Thay vào biểu thức trên, ta được $\dfrac{R-EH}{NH} = \dfrac{\frac{R}{2}}{R+EH}$. Tương đương với $2(R-EH)(R+EH) = NH \cdot R$.
Mở ngoặc và đưa các thành phần chứa $EH$ về cùng một vế, ta được $4R^2 - NH \cdot R = 3EH^2$.
Mà $NH = OH = R \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{R}{2}$, nên $4R^2 - \dfrac{R^2}{2} = 3EH^2$. Tương đương với $EH^2 = \dfrac{7R^2}{24}$.
Do đó, $AE = R$ và $EH^2 = \dfrac{7R^2}{24}$, suy ra $BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 \cdot AB \cdot AE \cdot \cos \angle BAE = (2R)^2 + R^2 - 2 \cdot 2R \cdot R \cdot \cos 30^\circ = 7R^2$.
Cuối cùng, ta có $AC = AE + EC = R + BE \cdot \sin \angle AEB = R + 7R \cdot \sin 30^\circ = \
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.