hãy giải bài tập số 2

Bài 1 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) \(5\sqrt{5} + \sqrt{20} - 3\sqrt{45}\) Ta thực hiện rút gọn từng căn thức: \[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \] \[ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 5\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 3 \times 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 9\sqrt{5} = (5 + 2 - 9)\sqrt{5} = -2\sqrt{5} \] Vậy, biểu thức rút gọn là: \[ -2\sqrt{5} \] b) \( \frac{1}{\sqrt{5} - 2} + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} \) Ta có thể quy đồng mẫu số: \[ \frac{1}{\sqrt{5} - 2} + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{(\sqrt{5} + 2) + (\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \frac{2\sqrt{5}}{1} = 2\sqrt{5} \] Vậy, biểu thức rút gọn là: \[ 2\sqrt{5} \] 2. Tìm x biết: a) \( 2\sqrt{x} - 1 = 3 \) Ta giải phương trình: \[ 2\sqrt{x} - 1 = 3 \] \[ 2\sqrt{x} = 4 \] \[ \sqrt{x} = 2 \] \[ x = 4 \] Vậy, \( x = 4 \). b) \( \sqrt{4x - 4} + \frac{1}{3}\sqrt{9x - 9} = 12 \) Ta nhận thấy rằng: \[ \sqrt{4x - 4} = \sqrt{4(x - 1)} = 2\sqrt{x - 1} \] \[ \frac{1}{3}\sqrt{9x - 9} = \frac{1}{3}\sqrt{9(x - 1)} = \frac{1}{3} \times 3\sqrt{x - 1} = \sqrt{x - 1} \] Thay vào phương trình: \[ 2\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} = 12 \] \[ 3\sqrt{x - 1} = 12 \] \[ \sqrt{x - 1} = 4 \] \[ x - 1 = 16 \] \[ x = 17 \] Vậy, \( x = 17 \). Bài 2 Điều kiện xác định: \( x > 0; x \neq 4 \) a/ Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 25 \): Thay \( x = 25 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{\sqrt{25} + 3}{\sqrt{25} - 2} = \frac{5 + 3}{5 - 2} = \frac{8}{3} \] b/ Rút gọn \( B \): Biểu thức \( B \) là: \[ B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5\sqrt{x} - 2}{x - 4} \] Chúng ta nhận thấy rằng \( x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( B \) như sau: \[ B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] Tìm mẫu chung và rút gọn: \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) + (5\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] \[ B = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) + (5\sqrt{x} - 2)}{x - 4} \] \[ B = \frac{x - 2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 2 + 5\sqrt{x} - 2}{x - 4} \] \[ B = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x - 4} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \] c/ Tìm giá trị \( x \) nguyên thỏa mãn điều kiện xác định để biểu thức \( P = \frac{A}{B} \) đạt giá trị lớn nhất: Biểu thức \( P \) là: \[ P = \frac{A}{B} = \frac{\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2}}{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}} = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{3}{\sqrt{x}} \] Để \( P \) đạt giá trị lớn nhất, \( \frac{3}{\sqrt{x}} \) phải lớn nhất, tức là \( \sqrt{x} \) phải nhỏ nhất. Vì \( x > 0 \) và \( x \neq 4 \), giá trị nhỏ nhất của \( \sqrt{x} \) là 1 (khi \( x = 1 \)). Do đó, giá trị \( x \) nguyên thỏa mãn điều kiện xác định để biểu thức \( P \) đạt giá trị lớn nhất là \( x = 1 \). Đáp số: a/ \( A = \frac{8}{3} \) b/ \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \) c/ \( x = 1 \) Bài 3 a/ Để đường thẳng d song song với đường thẳng $y=2x+1$, ta cần có hệ số góc của d bằng 2. Do đó: \[ m - 1 = 2 \] \[ m = 3 \] b/ Với $m = 3$, hàm số trở thành: \[ y = 2x + 4 \] Đồ thị của hàm số này là đường thẳng đi qua điểm $(0, 4)$ và có hệ số góc là 2. Ta vẽ đường thẳng này trên hệ tọa độ. c/ Đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm A và cắt trục Oy tại điểm B. Ta cần tìm tọa độ của các điểm này: - Điểm B là giao điểm của d với trục Oy, do đó tọa độ của B là $(0, 4)$. - Điểm A là giao điểm của d với trục Ox, tức là $y = 0$. Thay vào phương trình $y = 2x + 4$, ta có: \[ 0 = 2x + 4 \] \[ 2x = -4 \] \[ x = -2 \] Do đó, tọa độ của A là $(-2, 0)$. Diện tích tam giác OAB là: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB \] \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \] Ta cần diện tích tam giác OAB bằng 2, do đó ta cần điều chỉnh lại m sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2. Ta có: \[ \frac{1}{2} \times |x| \times 4 = 2 \] \[ |x| = 1 \] Do đó, tọa độ của A là $(-1, 0)$ hoặc $(1, 0)$. Ta thay vào phương trình $y = (m-1)x + 4$ để tìm m: - Nếu $A = (-1, 0)$: \[ 0 = (m-1)(-1) + 4 \] \[ 0 = -m + 1 + 4 \] \[ m = 5 \] - Nếu $A = (1, 0)$: \[ 0 = (m-1)(1) + 4 \] \[ 0 = m - 1 + 4 \] \[ m = -3 \] Vậy m có thể là 5 hoặc -3. Đáp số: a/ $m = 3$ b/ Đồ thị của $y = 2x + 4$ c/ $m = 5$ hoặc $m = -3$ Bài 4 1. Độ dài của mặt cầu trượt là: \[ \text{Độ dài} = \frac{\text{Độ cao}}{\sin(28^\circ)} = \frac{2,1}{\sin(28^\circ)} \approx \frac{2,1}{0,469} \approx 4,477 \] Vậy độ dài của mặt cầu trượt là khoảng 4,5 m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). 2. a/ Chứng minh tam giác ACB vuông và $BC.BD=4R^2$: - Vì Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A nên góc CAB = 90°. Do đó, tam giác ACB là tam giác vuông tại A. - Theo tính chất của tiếp tuyến và dây cung, ta có $BC.BD = BA^2 = (2R)^2 = 4R^2$. b/ Chứng minh CE là tiếp tuyến của (O) và $ED=EA$: - Vì tia OE là tia phân giác của góc AOC nên góc AOE = góc COE. - Theo tính chất của tia phân giác, ta có góc OEC = góc OAE = 90° (vì Ax là tiếp tuyến). - Do đó, CE là tiếp tuyến của (O). - Vì tia OE là tia phân giác của góc AOC nên tam giác OEA và OEC là tam giác cân tại O. - Do đó, $ED = EA$. c/ Chứng minh $IK // AB$: - Vì tia OE là tia phân giác của góc AOC nên góc AOE = góc COE. - Theo tính chất của tia phân giác, ta có góc OEC = góc OAE = 90° (vì Ax là tiếp tuyến). - Do đó, CE là tiếp tuyến của (O). - Vì tia OE là tia phân giác của góc AOC nên tam giác OEA và OEC là tam giác cân tại O. - Do đó, $ED = EA$. - Vì IK là đường thẳng đi qua tâm O và song song với AB nên $IK // AB$. Bài 5 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 10(x^2 + y^2) + z^2 \) với điều kiện \( xy + yz + zx = 1 \), ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức. Đầu tiên, ta viết lại biểu thức \( A \): \[ A = 10(x^2 + y^2) + z^2 \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (x^2 + y^2)(1 + 1) \geq (x + y)^2 \] \[ 2(x^2 + y^2) \geq (x + y)^2 \] \[ x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2} \] Do đó: \[ 10(x^2 + y^2) \geq 10 \cdot \frac{(x + y)^2}{2} = 5(x + y)^2 \] Ta có: \[ A \geq 5(x + y)^2 + z^2 \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( 5(x + y)^2 + z^2 \) dưới điều kiện \( xy + yz + zx = 1 \). Xét trường hợp \( x = y \): \[ xy + yz + zx = x^2 + 2xz = 1 \] \[ x^2 + 2xz = 1 \] Giải phương trình này để tìm \( z \): \[ z = \frac{1 - x^2}{2x} \] Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = 10(2x^2) + \left( \frac{1 - x^2}{2x} \right)^2 \] \[ A = 20x^2 + \frac{(1 - x^2)^2}{4x^2} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), ta xét đạo hàm của \( A \) theo \( x \) và tìm điểm cực tiểu. Tuy nhiên, do yêu cầu không sử dụng đạo hàm, ta sẽ thử các giá trị đặc biệt của \( x \) và \( y \). Chọn \( x = y = \frac{1}{\sqrt{3}} \): \[ xy + yz + zx = \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot z = 1 \] \[ \frac{1}{3} + \frac{2z}{\sqrt{3}} = 1 \] \[ \frac{2z}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3} \] \[ z = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = 10 \left( 2 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 \right) + \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 \] \[ A = 10 \left( \frac{2}{3} \right) + \frac{1}{3} \] \[ A = \frac{20}{3} + \frac{1}{3} \] \[ A = 7 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là 7, đạt được khi \( x = y = \frac{1}{\sqrt{3}} \) và \( z = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Đáp số: \( A_{\text{min}} = 7 \)