Cho đường tròn(O,R)và dây BC sao cho góc BOc=120 độ,A là điểm trên cung lớn BC sao co góc AOB=90 độ.Gọi AD là đường cao của tam giác ABC.KẺ đường kính AK của đường tròn O.Kẻ BE vuông góc với AC(E thuộc...

1. Ta có $\angle AOB = 90^\circ$ nên $AB$ là đường chân của tam giác $ABC$. Khi đó, $AD$ là đường cao của tam giác $ABC$, suy ra $AD$ vuông góc với $BC$. Gọi $M$ là giao điểm của $AD$ và đường tròn $(O)$ (khác $A$). Khi đó, ta có $\angle OBM = \angle OAM = \angle OAB = \angle OCB$, suy ra $OBMC$ là tứ giác nội tiếp. Do đó, ta có: $\angle BKM = \angle BMC - \angle CBK = \angle OMC - \angle OBC = \angle OMB = \angle KCM$ Vậy tứ giác $BCKM$ là hình thang cân. 2. Ta có $\angle BAC = \angle BOC = 2\angle BHC$, suy ra $BH$ là đường phân giác của góc $\angle ABC$. Khi đó, ta có: $\angle CBH = \angle HBC = \angle HMC = \angle KMC$ Do đó, $MK$ song song với $BC$. Vậy $M$ và $H$ đối xứng qua $BC$. 3. Ta có $\angle BAC = \angle BOC = 2\angle BHC$, suy ra $BH$ là đường phân giác của góc $\angle ABC$. Khi đó, ta có: $\angle CBE = \angle HBC = \angle HMC = \angle KMC$ Do đó, $BE$ song song với $MK$. Từ đó suy ra $DE$ song song với $MN$. 4. Ta có $\angle HNC = \angle HBC = \angle HMC$, suy ra $HMNC$ là tứ giác nội tiếp. Khi đó, ta có: $\angle HNM = \angle HCM = \angle HCB = \angle HNB$ Do đó, $HN$ là đường phân giác của góc $\angle MNB$. Tương tự, ta có $HM$ là đường phân giác của góc $\angle MHN$. Vậy $C$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMN$. 5. Gọi $S_{XYZ}$ là diện tích tam giác $XYZ$. Ta có: $\frac{S_{MNP}}{S_{HMN}} = \frac{MN}{HN} = \frac{ME}{HE}$ Vì $BE$ song song với $AD$ nên $\triangle ADE$ và $\triangle BEH$ đồng dạng. Suy ra: $\frac{ME}{HE} = \frac{AD}{BH} = \frac{2S_{ABC}/BC}{2S_{ABC}/AB} = \frac{AB}{BC} = \frac{BD}{DC}$ Trong tam giác $BDC$, ta có $BD = BC\cos{\angle BDC}$ và $DC = BC\cos{\angle CBD}$. Nhưng $\angle BDC = \angle BAC = 120^\circ$ và $\angle CBD = \angle CBA = \frac{1}{2}\angle COA = 60^\circ$, suy ra $\cos{\angle BDC} = \cos{\angle CBD} = \frac{1}{2}$. Vậy $BD = DC = \frac{1}{2}BC$. Từ đó suy ra: $\frac{S_{MNP}}{S_{HMN}} = \frac{BD}{DC} = 1$ Do đó, $S_{MNP} = S_{HMN} = 4S_{DEF}$. 6. Ta có: $\angle PNM = \angle PNB - \angle MNB = \angle POB - \angle MOB = \angle POM$ Tương tự, ta có $\angle PMN = \angle POM$. Do đó, tam giác $MNP$ đồng dạng với tam giác $POD$. Nhưng $\triangle POD$ và $\triangle DEF$ đồng dạng (vì cùng vuông góc với