Cho đường tròn tâm O và đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa O và B . Kẻ dây cung CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kì ( E khác A và C ) . Kẻ CK vuông góc với AE tại K . Đường thẳng CK cắt DE tại F
a, Chứng minh rằng AHCK là tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh rằng KH // DE và tam giác ADF cân
c, Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên EA và EB . Chứng minh M , H, N thẳng hàng
d,Tìm vị trí của điểm E sao cho diện tích tam giác ADF lớn nhất
CẦN HÌNH VẼ CỦA BÀI NÀYYYYYY

Question

Cho đường tròn tâm O và đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa O và B . Kẻ dây cung CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kì ( E khác A và C ) . Kẻ CK vuông góc với AE tại K . Đường thẳng CK cắt DE tại F
 a, Chứng minh rằng AHCK là tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh rằng KH // DE và tam giác ADF cân
c, Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên EA và EB . Chứng minh M , H, N thẳng hàng
d,Tìm vị trí của điểm E sao cho diện tích tam giác ADF lớn nhất
CẦN HÌNH VẼ CỦA BÀI NÀYYYYYY

Accepted Answer

a) Ta có $\angle AHB = 90^\circ$ vì $HB$ là đường cao của tam giác $OAB$. Mà $\angle AKB = 90^\circ$ nên $AHCK$ là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $\angle KAE = \angle KCE$ vì chúng đều bằng $90^\circ$. Mà $\angle KCE = \angle KDH$ vì $KHCD$ là tứ giác nội tiếp. Vậy $\angle KAE = \angle KDH$. Tương tự, ta có $\angle KAD = \angle KDH$. Vậy tam giác $KAD$ cân.

Ta có $\angle FAD = \angle KAD$ vì chúng đều bằng $\angle KDH$. Vậy tam giác $ADF$ cân.

Ta có $\angle KHD = \angle KCD$ vì chúng đều bằng $90^\circ$. Mà $\angle KCD = \angle KED$ vì $CKDE$ là tứ giác nội tiếp. Vậy $\angle KHD = \angle KED$. Tương tự, ta có $\angle KHE = \angle KDE$. Vậy tam giác $KHE$ đồng dạng với tam giác $KDE$.

Do đó, ta có $\frac{KF}{KD} = \frac{KH}{KE}$. Nhưng tam giác $KHE$ đồng dạng với tam giác $KDE$ nên $\frac{KH}{KE} = \frac{KD}{KM}$. Vậy $\frac{KF}{KD} = \frac{KD}{KM}$, hay $KF = KM$. Vậy $KH \parallel DE$.

c) Ta có $\angle HMD = \angle HED$ vì chúng đều bằng $90^\circ$. Mà $\angle HED = \angle HAC$ vì $AEHC$ là tứ giác nội tiếp. Vậy $\angle HMD = \angle HAC$. Tương tự, ta có $\angle HNB = \angle HBC$.

Như vậy, ta có $\angle HMD + \angle HNB = \angle HAC + \angle HBC = 180^\circ$. Vậy $M,H,N$ thẳng hàng.

d) Gọi $x = AE$. Ta có $EC = AC - AE = \frac{AB}{2} - x$.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $AHE$, ta có:

$$AH^2 = AE^2 + EH^2 = x^2 + \left(\frac{AB}{2} - AH\right)^2$$

Simplifying the equation, we get:

$$AH^2 - \frac{AB^2}{4} + AB \cdot AH = x^2$$

Giải phương trình này theo $AH$, ta được:

$$AH = \frac{AB}{2} - \frac{x^2}{AB}$$

Do $KF = KM$, ta có:

$$\frac{KF}{AD} = \frac{KH}{AH}$$

Thay các giá trị đã biết vào, ta được:

$$\frac{KF}{AD} = \frac{KH}{\frac{AB}{2} - \frac{x^2}{AB}}$$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $KAD$, ta có:

$$AD^2 = AK^2 + KD^2 - 2 \cdot AK \cdot KD \cdot \cos \angle KAD$$

Như đã chứng minh ở trên, $\angle KAD = \angle KDH$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác $KDH$, ta có:

$$KD^2 = KH^2 + DH^2 - 2 \cdot KH \cdot DH \cdot \cos \angle KDH$$

Do $AHCK$ là tứ giác nội tiếp, ta có $\angle KDH = \angle KCH$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác $KCH$, ta có:

$$KH^2 = KC^2 + CH^2 - 2 \cdot KC \cdot CH \cdot

Cho đường tròn tâm O và đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa O và B . Kẻ dây cung CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC lấy điểm E bất kì ( E khác A và C ) . Kẻ CK vuông góc với AE tại K . Đườ...