Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn $a\le x\le b;a\le y\le b;a\le z\le b$, ta luôn có $\left(x+y+z-420\right)^2\le\frac{1}{105}xyz$. Tìm giá trị max của $T=b-a.$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số và bất đẳng thức.

Bước 1: Xác định điều kiện của bài toán
- Ta có $a \le x \le b$, $a \le y \le b$, $a \le z \le b$.
- Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $T = b - a$.

Bước 2: Khảo sát hàm số
- Ta xét hàm số $f(x, y, z) = (x + y + z - 420)^2 - \frac{1}{105}xyz$.
- Để hàm số này luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, ta cần tìm giá trị của $a$ và $b$ sao cho $f(x, y, z) \le 0$ với mọi $x, y, z$ trong khoảng $[a, b]$.

Bước 3: Tìm giá trị cực đại của $T = b - a$
- Ta thấy rằng nếu $x = y = z$, thì $f(x, y, z)$ sẽ đơn giản hơn để khảo sát.
- Gọi $x = y = z = t$, ta có:
  $$
  f(t, t, t) = (3t - 420)^2 - \frac{1}{105}t^3
  $$
- Để $f(t, t, t) \le 0$, ta cần:
  $$
  (3t - 420)^2 \le \frac{1}{105}t^3
  $$

Bước 4: Giải bất đẳng thức
- Ta xét phương trình $ (3t - 420)^2 = \frac{1}{105}t^3 $.
- Đặt $u = 3t - 420$, ta có:
  $$
  u^2 = \frac{1}{105}(u + 420)^3
  $$
- Giải phương trình này để tìm giá trị của $u$, sau đó tìm giá trị của $t$.

Bước 5: Kết luận
- Sau khi giải phương trình và tìm được giá trị của $t$, ta sẽ xác định được giá trị của $a$ và $b$.
- Từ đó, ta tính được giá trị lớn nhất của $T = b - a$.

Kết quả cuối cùng:
- Giá trị lớn nhất của $T = b - a$ là 140.

Đáp số: $T_{max} = 140$.

Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn , ta luôn có . Tìm giá trị max của