Cho y=$x^3-3\left(m+1\right)x^2+\left(3m^2+6m\right)x$ Tìm m để y' $\leq$ có nghiệm đúng ∀x∈ [0;1]

Để y' $\leq$ 0 trên [0;1], ta cần tìm điều kiện để hàm số y giảm trên đoạn [0;1]. Ta có: $y'=3x^2-6(m+1)x+3m^2+6m$ Để y' $\leq$ 0, ta cần tìm m sao cho $\Delta$ $\leq$ 0 và $a$ > 0, trong đó $\Delta$ là biểu thức dưới dấu căn của phương trình bậc hai tương ứng với y', $a$ là hệ số của $x^2$ trong y'. $\Delta=(-6(m+1))^2-4.3.(3m^2+6m)=-3(m-1)^2\leq 0$ Vậy $m \in [1]$. Để y giảm trên [0;1], ta cần $y'(0) \geq 0$ và $y'(1) \leq 0$. $y'(0)=3m^2+6m \geq 0 \Leftrightarrow m \geq -2$ $y'(1)=3-6(m+1)+3m^2+6m \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 1$ Vậy, để y' $\leq$ 0 đúng với mọi $x \in [0;1]$, ta cần $m \in [1]$ và $m \geq -2$. Kết hợp hai điều kiện này, ta có $m \in [1;+\infty)$.