Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH biết AB = 15 cm ah = 12 cm
a) chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA
b)Tính độ dài đoạn thẳng HB, HC, AC,
c)trên cạnh ac lấy điểm E sao cho CE = 5 cm trên cạnh BC lấy điểm F sao cho CF = 4 cm chứng minh tam giácCÈ vuông
d) chứng minh CE.CA=CF

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH biết AB = 15 cm ah = 12 cm
a) chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA 
b)Tính độ dài đoạn thẳng HB, HC, AC, 
c)trên cạnh ac lấy điểm E sao cho CE = 5 cm trên cạnh BC lấy điểm F sao cho CF = 4 cm chứng minh tam giácCÈ vuông
d) chứng minh CE.CA=CF

Accepted Answer

a) Ta có:
$\angle AHB = \angle CHA = 90^{\circ}$ (do $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\angle ABH = \angle ACH$ (cùng nằm trên cung $\widehat{AC}$)
Vậy tam giác $AHB$ đồng dạng với tam giác $CHA$ theo góc.

b) Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác $ABH$ và $ACH$, ta có:
$HB = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$
$HC = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{BC^2 + AB^2 - AH^2} = \sqrt{18^2 + 15^2 - 12^2} = 21$
$AC = \sqrt{BC^2 + AB^2} = \sqrt{18^2 + 15^2} = 27$

c) Ta cần chứng minh $\angle CÈA = 90^{\circ}$.
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác $ACE$, ta có:
$AE = \sqrt{AC^2 - CE^2} = \sqrt{27^2 - 5^2} = 26$
Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác $BCF$, ta có:
$BF = \sqrt{BC^2 - CF^2} = \sqrt{18^2 - 4^2} = 16$
Do đó, $AF = AB - BF = 15 - 16 = -1$ (vì $F$ nằm ngoài đoạn $AB$)
Vậy ta có:
$\dfrac{CE}{AE} = \dfrac{5}{26}$ và $\dfrac{CF}{BF} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$
Do đó, $\dfrac{CE}{AE} > \dfrac{CF}{BF}$ và $AE > BF$, suy ra $\angle CÈA > \angle BCF$.
Nhưng $\angle BCF = 90^{\circ} - \angle ACB = 90^{\circ} - \angle ACH = \angle CÈA$, vậy ta có $\angle CÈA = 90^{\circ}$.

d) Ta có:
$CE.CA = 5 	imes 27 = 135$
$CF = BC - BF = 18 - 16 = 2$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $BCF$, ta có:
$CF^2 = BC^2 + BF^2 - 2BC.BF\cos{\angle BCF}$
$\Rightarrow \cos{\angle BCF} = \dfrac{BC^2 + BF^2 - CF^2}{2BC.BF} = \dfrac{18^2 + 16^2 - 2^2}{2 	imes 18 	imes 16} = \dfrac{625}{576}$
Do đó, $\sin{\angle BCF} = \sqrt{1 - \cos^2{\angle BCF}} = \dfrac{23}{24}$
Áp dụng định lý sin cho tam giác $BCF$, ta có:
$\dfrac{CF}{\sin{\angle ACB}} = \dfrac{BC}{\sin{\angle BCF}}$
$\Rightarrow \dfrac{CF}{\dfrac{3}{5}} = \dfrac{18}{\dfrac{23}{24}}$
$\Rightarrow CF = \dfrac{54}{23}$
Vậy ta có:
$CE.CA = 135$
$CF = \dfrac{54}{23}$
Suy ra:
$CE.CA = CF \Rightarrow CE.CA = CF$