Cho tam giác ABC có BC = 2AB. Gọi M là trung điểm của BC, N là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia NA lấy điểm E sao cho AN = EN. Chứng minh: a/△ NAB =△ NEM b/△ MAB là tam giác cân c/M là trọng tâm...

a) Xét tam giác NAB và tam giác NEM có: 

NA = NE ( gt) 

ANB = ENM ( đối đỉnh ) 

BN = NM ( N là trung điểm BM ) 

=> tam giác NAB = tam giác NEM ( cgc) 

b. Ta có M là trung điểm BC (gt) 

=> BM = MC = 1/2 BC (1) 

Lại có : BC = 2 AB ( gt) 

=> AB = 1/2 BC (2) 

Từ (1) và (2) => BM=MC=AB hay BM = AB 

=> tam giác ABM cân tại B. 

c. Ta có : tam giác ANB = tam giác ENM ( cm câu a) 

=> góc ABN = góc EMN (góc tương ứng ) 

Mà chúng ở vị trí so le trong => AB // ME 

Gọi giao điểm của EM và AC là I => IE // AB (I thuộc AC do cách dựng) => MI // AB 

Xét tam giác ABC có : IM // AB ( cmt) 

=> MC / BM = CI / IA

Mà MC = BM (gt) => CI = CA => EI là trung tuyến tam giác AEC 

Mà CN cũng là trung tuyến tam giác AEC ( AN = NE ) 

CN giao EI tại M => M là trọng tâm tam giác AEC. 

d. Ta có M là trọng tâm tam giác AEC (cmt) 

=> MA = MC(tc trọng tâm tam giác)

=> MA = AB = MB => Tam giác ABM đều => góc BAM = 60 độ 

Ta có : AN là trung tuyến tam giác ABN (N là trung điểm NB) 

=> AN cũng là đường cao và là đường phân giác 

=> ANB = 90 độ và góc BAN = 1/2 . 60= 30 độ 

Xét tam giác ABN có 

Góc A < B < N 

=> BN < AN < AB ( quan hệ giữa cạnh và góc đối diện) 

Hay AB > AN => AB > 2/3 AN.