cho tam giác ABC có ab=8cm, ac=6cm, BC= 10cm, đường cao ah ( h€ BC) tia phân giác của góc a cắt bc tại d a Chứng minh ac^2= bc.hc b tính độ dài đoạn thẳng bd

a. Ta có: - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHB, ta có: $AB^2 = AH^2 + BH^2$ - Sử dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác ABC, ta có: $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{BC}{BH}$ - Sử dụng công thức tính diện tích của tam giác, ta có: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot HC = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$ Từ đó suy ra: $\begin{cases} AB^2 = AH^2 + BH^2 \\ \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{BC}{BH} \\ S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot HC = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \end{cases} \Rightarrow AC^2 = BC \cdot HC$ b. Ta có: - Từ câu a, ta có $AC^2 = BC \cdot HC$ - Sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác vuông BHD, ta có: $BD^2 = BH \cdot HD$ - Sử dụng tính chất của tia phân giác trong tam giác ABD, ta có: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{HD}{HB}$ Từ đó suy ra: $\begin{cases} AC^2 = BC \cdot HC \\ BD^2 = BH \cdot HD \\ \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{HD}{HB} \end{cases} \Rightarrow BD = \dfrac{2S_{ABC}}{AC}$ Vậy độ dài đoạn thẳng BD là: $BD = \dfrac{2S_{ABC}}{AC} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot HC}{AC} = HC$. Do đó, để tính độ dài đoạn thẳng BD, ta cần tìm độ dài đường cao HC của tam giác ABC. Ta có thể sử dụng công thức diện tích của tam giác để tính được độ dài đường cao này: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot HC \Rightarrow HC = \dfrac{2S_{ABC}}{AC} = \dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8}{6} = 8$ Vậy độ dài đoạn thẳng BD là 8cm.