Giải giúp với ạ NNn ưưng,Câu 5 (2,5 điểm).,Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn   (O).   Từ 4 kẻ hai tiếp tuyến,AB, AC với đường tròn   (O)~(B   (B và C là các tiếp điểm).,a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.,b) Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D ; đường thẳng AD cắt,đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E ; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của,AO và BC. Chứng minh   \frac{A E}{A O}=\frac{A H}{A D}.,\Rightarrow\overrightarrow{x}=-\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x}
eq{}\Rightarrow\overrightarrow{B}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{v}

Question

Giải giúp với ạ NNn  ưưng,Câu 5 (2,5 điểm).,Cho đường tròn (O) và điểm  A nằm ngoài đường tròn &nbsp; (O). &nbsp; Từ  4 kẻ hai tiếp tuyến,AB, AC với đường tròn &nbsp; (O)~(B &nbsp; (B và C  là các tiếp điểm).,a) Chứng minh  ABOC là tứ giác nội tiếp.,b) Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là  D ; đường thẳng  AD cắt,đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E ; đường thẳng BE cắt AO tại F; H là giao điểm của,AO và BC. Chứng minh &nbsp; \frac{A E}{A O}=\frac{A H}{A D}.,\Rightarrow\overrightarrow{x}=-\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x}
eq{}\Rightarrow\overrightarrow{B}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{v}

Quang · Accepted Answer

Hjui

Timi · Answer

a) Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), do đó OA vuông góc với AB và AC. Từ đó suy ra tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
- $\angle ODC = \angle OCB$ (cùng chắn cung OB)
- $\angle OCD = \angle OBC$ (cùng chắn cung OC)
Do đó tam giác OCD và tam giác OBC đồng dạng.
Từ đó suy ra: $\frac{OD}{OB}=\frac{OC}{OA}$ (định lí Euclid)
Mà $OC=OB$ (vì OB, OC là bán kính đường tròn (O)), nên ta có: $OD=OA$
Tương tự, ta có: $AE \parallel BC$ (do cùng vuông góc với AO), $AF \parallel OC$ (do cùng vuông góc với BE).
Áp dụng định lí Thales cho các tam giác ADE, AOH, ta có:
$\frac{AE}{OD}=\frac{AD}{OE}$
$\frac{AH}{OD}=\frac{AO}{OH}$
Do $OD=OA$, ta có: $\frac{AE}{OA}=\frac{AD}{OE}$
Do $OH=OA-AH$, ta có: $\frac{AO}{OA-AH}=\frac{OD}{OD+DH}$
Từ hai biểu thức trên, suy ra: $\frac{AE}{OA}=\frac{AD}{OE}=\frac{AH}{OD+DH}$
Do $OD=OA$, ta có: $\frac{AE}{A0}=\frac{AD}{OE}=\frac{AH}{AD+DH}$
Tương đương với: $\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD+DH}$
Mà $OD=OA$, nên $DH=OH=OA-AH$
Từ đó suy ra: $\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD+OA-AH}$
Tương đương với: $\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD+HD}$
Mà $HD=DC=BC-DB=AC-AB$ (do AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O))
Từ đó suy ra: $\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD+AC-AB}$
Mà $AC=2OA$ (do OB, OC là bán kính đường tròn (O)), nên ta có:
$\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD+2OA-AB}$
Mà $AB=AF$ (do AB, AF là hai cạnh của tứ giác ABEF), nên ta có:
$\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD+2OA-AF}$
Tương đương với: $\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD+OF}$
Vậy ta đã chứng minh được: $\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD+OF}$