Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ (BH vuông góc với AC ; Ck vuông góc với AB. a) Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân b) Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của...

a) Ta có BH vuông góc với AC nên AH là đường cao của tam giác ABC. Tương tự, CK vuông góc với AB nên AK là đường cao của tam giác ABC. Do đó, tam giác AKH cân tại A. b) Ta có: - $\angle BHI = \angle CHI = 90^\circ$ (do BH và CK vuông góc với AC và AB) - $\angle HAI = \angle IAC$ (do AI là đường cao của tam giác ABC) - $\angle IAK = \angle CAM$ (do AI cắt BC tại M) Do đó, hai tam giác BHI và CHI đồng dạng với tam giác AIM và tam giác AIC đồng dạng. Từ đó suy ra $\frac{BH}{CH}=\frac{AM}{MC}$ (theo tính chất của tam giác đồng dạng). Mà $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $\frac{BH}{CH}=\frac{AB}{AC}$. Kết hợp với $\frac{BH}{CH}=\frac{AM}{MC}$, ta có $\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{MC}$, hay $AM=\frac{AB}{AC}\cdot MC$. Áp dụng định lí phân giác trong tam giác ABC, ta có $\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{AC}$. Kết hợp với $AM=\frac{AB}{AC}\cdot MC$, ta có $\frac{BM}{MC}=\frac{AM}{MC}$, hay $BM=AM$. Vậy $IM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, nên $IM$ là phân giác của góc $\angle AIB$. c) Ta có $\angle BHI = \angle CHI = 90^\circ$ (do BH và CK vuông góc với AC và AB), nên $BH \parallel CK$. Từ đó suy ra $HK \parallel BC$ (do $AHKC$ là tứ giác).