Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên. Biết P(1), P(2), P(3),,P(2023) chia hết cho 2023. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 2023.

Vì P(1), P(2), P(3),…, P(2023) đều chia hết cho 2023, ta có thể viết đa thức P(x) thành:

P(x) = (x - 1)Q(x) + P(1)
và
P(x) = (x - 2)R(x) + P(2)
và
P(x) = (x - 3)S(x) + P(3)
…
và
P(x) = (x - 2023)T(x) + P(2023)

Trong đó, Q(x), R(x), S(x), T(x) là các đa thức khác hằng số và có hệ số nguyên.

Theo giả thiết ban đầu, ta biết rằng P(1), P(2), P(3),…, P(2023) đều chia hết cho 2023. Do đó ta có thể suy ra

P(1) ≡ 0 (mod 2023)
P(2) ≡ 0 (mod 2023)
P(3) ≡ 0 (mod 2023)
...
P(2023) ≡ 0 (mod 2023)

Từ phương trình P(x) = (x - 1)Q(x) + P(1), ta thấy rằng khi x = 1, ta có P(x) ≡ P(1) (mod 2023). Tương tự, ta có thể suy ra:

Khi x = 2, ta có P(x) ≡ P(2) (mod 2023)
Khi x = 3, ta có P(x) ≡ P(3) (mod 2023)
...
Khi x = 2023, ta có P(x) ≡ P(2023) (mod 2023)

Do đó, ta có hệ thức tương đương:

P(x) ≡ (x - 1)Q(x) + P(1) ≡ (x - 2)R(x) + P(2) ≡ (x - 3)S(x) + P(3) ≡ ... ≡ (x - 2023)T(x) + P(2023) (mod 2023)

Từ đây suy ra được P(x) ≡ 0 (mod 2023). Do đó, P(x) chia hết cho 2023.