Cho tam giác ABC có AC=2AB. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM=AB. Tia phân giác cúa góc BAC cắt BM tại I a) Chứng minh: Tam giác ABI=tam giác AMI. Từ đó suy ra AI vuông góc với BM b) Trên tia đối củ...

b) Gọi N là trung điểm của AC. Ta có BN song song với AD (do AB=BD), mà AD đối diện với góc BAC nên BN cũng đối diện với góc BAC. Vậy BN chính là tia phân giác của góc BAC. Gọi P là giao điểm của BN và BM. Ta cần chứng minh rằng DP song song với BM. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với đường chéo BM, ta có: $$ Vì $$ (do N là trung điểm của AC) và $$ (do AM=AB và AC=2AB), nên ta có: $$ Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABD với đường chéo BN, ta có: $$ Vì $$ là tia phân giác của góc BAC nên $$. Vì $$ là trung điểm của $$ nên $$. Kết hợp với $$, ta có: $$ Vậy $$ song song với $$. c) Ta có: $$ Mà $$ (do $$ và $$ đồng dạng), nên ta có: $$ Như vậy, $$ chính là tia phân giác của góc $$. Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác $$ với đường chéo $$, ta có: $$ Vì $$ là trung điểm của $$ nên $$. Vì $$ nên $$. Kết hợp với $$ là tia phân giác của góc $$, ta có: $$ Vậy $$, $$, $$ thẳng hàng.