Cho tam giác ABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng AO tia phân giác của góc MAN.

Question

Accepted Answer

Ta cần chứng minh rằng $\angle OAM = \angle MAN$.

Do $OM$ là đường trung trực của $AB$, ta có $OM \perp AB$. Tương tự, $ON \perp AC$. Vậy $OM \parallel ON$.

Suy ra $\angle OAM = \angle MAN$ nếu và chỉ nếu $OA$ là đường phân giác của tam giác $MAN$.

Ta sẽ chứng minh rằng $OA$ là đường phân giác của tam giác $MAN$ bằng cách chứng minh $\dfrac{MA}{AN} = \dfrac{MB}{NC}$.

Áp dụng định lí đường trung bình trong tam giác $ABC$, ta có:

$$\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{AB}{AC}$$

Mà $OM$ là đường trung trực của $AB$, nên $MB = MC$. Tương tự, $NA = NC$.

Vậy:

$$\dfrac{MA}{AN} = \dfrac{MA}{NC} = \dfrac{MB}{MC} = \dfrac{AB}{AC}$$

Nhưng $\dfrac{AB}{AC}$ cũng chính là tỉ số của độ dài đoạn thẳng $AM$ và $AN$ theo định lí đường phân giác. Vậy ta có:

$$\dfrac{MA}{AN} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AM}{AN}$$

Do đó, $OA$ là đường phân giác của tam giác $MAN$, và suy ra $\angle OAM = \angle MAN$. Vậy ta đã chứng minh được rằng $AO$ là tia phân giác của góc $MAN$.